20 Basiswissen Mathematik
20.1 Das Summenzeichen
In der Statistik haben wir es ständig mit Summen vieler Zahlen zu tun, etwa wenn wir aus n Beobachtungen x_1, x_2, \ldots, x_n einen Mittelwert berechnen. Ausgeschriebene Summen wie
x_1 + x_2 + x_3 + \cdots + x_n
sind lang und unübersichtlich, und bei allgemeinem n können wir sie nur mit Pünktchen darstellen. Mit dem Summenzeichen \sum (großes griechisches Sigma) können wir solche Summen kompakt schreiben.
Der Index i durchläuft nacheinander alle ganzen Zahlen von m bis n. Für jeden dieser Werte werten wir den Summanden aus und addieren anschließend alle Ergebnisse. Die Summe besteht also aus n - m + 1 Summanden.
Beispiele
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{5} i & = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \\ \sum_{k=1}^{4} k^2 & = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 30 \\ \sum_{i=3}^{4} (2i + 1) & = (2 \cdot 3 + 1) + (2 \cdot 4 + 1) = 16 \\ \sum_{i=1}^{3} \frac{1}{i} & = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{11}{6} \\ \sum_{i=1}^{4} 5 & = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 \\ \sum_{i=1}^{3} x_i\,y_i & = x_1 y_1 + x_2 y_2 + x_3 y_3 \end{aligned}
Summen in Summenschreibweise bringen
\begin{aligned} 2 + 4 + 6 + \cdots + 20 &= \sum_{i=1}^{10} 2i \\ 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} &= \sum_{i=1}^{5} \frac{(-1)^{i+1}}{i} \\ x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 &= \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \end{aligned}
Offenbar ist die Summenschreibweise nicht eindeutig, so kann zum Beispiel die erste Summe auch geschrieben werden als
2 + 4 + \cdots + 20 = \sum_{i=0}^{9} (2i + 2)
Bemerkungen zur Schreibweise:
- Der Name des Index ist beliebig. Es gilt \sum_{i=1}^{n} x_i = \sum_{k=1}^{n} x_k. Der Index existiert nur innerhalb der Summe (gebundene Variable).
- Der Summand muss nicht vom Index abhängen, vgl. \sum_{i=1}^{4} 5 = 20.
- Kurzschreibweise: Ist aus dem Zusammenhang klar, über welchen Bereich wir summieren, schreiben wir oft nur \sum_i x_i oder \sum x_i statt \sum_{i=1}^{n} x_i.
- Leere Summe: Ist die obere Grenze kleiner als die untere (n < m), enthält die Summe keinen Summanden. Wir legen ihren Wert dann als 0 fest.
20.1.1 Rechenregeln
Alle folgenden Regeln erhalten wir unmittelbar, wenn wir die Summe ausschreiben und die bekannten Rechengesetze Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz anwenden.
Konstante Summanden
\sum_{i=1}^{n} c = \underbrace{c + c + \cdots + c}_{n \text{ mal}} = n \cdot c
Allgemeiner gilt
\sum_{i=m}^{n} c = (n - m + 1)\cdot c
Der Einfachheit halber lassen wir für die nächsten Rechenregeln die Summen immer von 1 bis n laufen.
Konstanter Faktor
\sum_{i=1}^{n} c \, x_i = c \sum_{i=1}^{n} x_i
Um dies zu zeigen, benötigen wir das Distributivgesetz: Wir klammern c aus, c x_1 + c x_2 + \cdots + c x_n = c\,(x_1 + x_2 + \cdots + x_n) und schreiben die verbleibende Summe wieder mit dem Summenzeichen.
Summen und Differenzen
\sum_{i=1}^{n} (x_i \pm y_i) = \sum_{i=1}^{n} x_i \pm \sum_{i=1}^{n} y_i
Aufgrund der Kommutativität der Addition dürfen die Summanden beliebig umsortiert werden.
Linearität
Kombinieren wir die obigen drei Regeln, so erhalten wir
\sum_{i=1}^{n} (a + b\,x_i) = n\,a + b \sum_{i=1}^{n} x_i .
Beispiel: Linearität
\sum_{i=1}^{10} (3 + 2i) = \sum_{i=1}^{10} 3 + 2 \sum_{i=1}^{10} i = 10 \cdot 3 + 2 \cdot 55 = 140
Zerlegen des Summationsbereichs
Für m \le k < n gilt
\sum_{i=m}^{n} x_i = \sum_{i=m}^{k} x_i + \sum_{i=k+1}^{n} x_i .
Häufig spalten wir auf diese Weise einen einzelnen Summanden ab, z. B. \sum_{i=1}^{n} x_i = x_1 + \sum_{i=2}^{n} x_i.
Indexverschiebung
Ersetzen wir den Index i durch j = i + r, so verschieben sich die Grenzen um r:
\sum_{i=m}^{n} x_i = \sum_{j=m+r}^{n+r} x_{j-r}
Ebenso können wir die Summationsreihenfolge umkehren: \sum_{i=m}^{n} x_i = \sum_{i=m}^{n} x_{m+n-i}.
Beispiel: Indexverschiebung
Setzen wir j = i - 2, so wird aus i = 3, \ldots, 7 der Bereich j = 1, \ldots, 5:
\sum_{i=3}^{7} i^2 = \sum_{j=1}^{5} (j + 2)^2 = \sum_{j=1}^{5} j^2 + 4 \sum_{j=1}^{5} j + \sum_{j=1}^{5} 4 = 55 + 60 + 20 = 135
Zur Kontrolle rechnen wir direkt: 9 + 16 + 25 + 36 + 49 = 135.
Teleskopsummen
Summieren wir Differenzen aufeinanderfolgender Glieder, heben sich alle inneren Glieder auf.
\sum_{i=1}^{n} (a_i - a_{i+1}) = a_1 - a_{n+1}
Beispiel: Teleskopsumme
Mit a_i = \frac{1}{i} erhalten wir
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i^2 +i} & = \sum_{i=1}^{n} \left( \frac{1}{i} - \frac{1}{i+1} \right) \\ & = \left(1 - \tfrac{1}{2}\right) + \left(\tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3}\right) + \cdots + \left(\tfrac{1}{n} - \tfrac{1}{n+1}\right) \\ & = 1 - \frac{1}{n+1}. \end{aligned}
Doppelsummen
Werte mit zwei Indizes, etwa die Einträge a_{ij} einer Tabelle mit m Zeilen und n Spalten, summieren wir mit einer Doppelsumme. Dabei dürfen wir die Reihenfolge der Summation vertauschen:
\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} a_{ij} = \sum_{j=1}^{n} \sum_{i=1}^{m} a_{ij}
Hängt der Summand als Produkt getrennt von i und j ab, zerfällt die Doppelsumme in ein Produkt zweier Einzelsummen:
\sum_{i=1}^{m} \sum_{j=1}^{n} x_i \, y_j = \left( \sum_{i=1}^{m} x_i \right) \left( \sum_{j=1}^{n} y_j \right)
Beispiel: Doppelsumme über eine Tabelle
| a_{ij} | j = 1 | j = 2 | j = 3 | Zeilensumme |
|---|---|---|---|---|
| i = 1 | 1 | 2 | 3 | 6 |
| i = 2 | 4 | 5 | 6 | 15 |
| Spaltensumme | 5 | 7 | 9 | 21 |
Summieren wir zuerst über j (Zeilensummen) und dann über i, erhalten wir 6 + 15 = 21. Summieren wir zuerst über i (Spaltensummen) und dann über j, erhalten wir 5 + 7 + 9 = 21.
Übersicht
| Regel | Formel |
|---|---|
| Konstante Summanden | \sum\limits_{i=1}^{n} c = n\,c |
| Konstanter Faktor | \sum\limits_{i=1}^{n} c\,x_i = c \sum\limits_{i=1}^{n} x_i |
| Summen und Differenzen | \sum\limits_{i=1}^{n} (x_i \pm y_i) = \sum\limits_{i=1}^{n} x_i \pm \sum\limits_{i=1}^{n} y_i |
| Linearität | \sum\limits_{i=1}^{n} (a + b\,x_i) = n\,a + b \sum\limits_{i=1}^{n} x_i |
| Zerlegung | \sum\limits_{i=m}^{n} x_i = \sum\limits_{i=m}^{k} x_i + \sum\limits_{i=k+1}^{n} x_i |
| Indexverschiebung | \sum\limits_{i=m}^{n} x_i = \sum\limits_{j=m+r}^{n+r} x_{j-r} |
| Teleskopsumme | \sum\limits_{i=1}^{n} (a_i - a_{i+1}) = a_1 - a_{n+1} |
| Vertauschen | \sum\limits_{i}\sum\limits_{j} a_{ij} = \sum\limits_{j}\sum\limits_{i} a_{ij} |
| Produkt von Summen | \sum\limits_{i}\sum\limits_{j} x_i\,y_j = \left(\sum\limits_{i} x_i\right)\left(\sum\limits_{j} y_j\right) |
20.1.2 Wichtige Summenformeln
Für einige der häufig auftretenden Summen kennen wir geschlossene Formeln.
Die Gauß’sche Summenformel
\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}
Die Summe der Quadrate
\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
Die geometrische Summenformel
\sum_{i=0}^{n} q^i = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q} \qquad (q \neq 1)
Beispiel: Summenformeln anwenden
\begin{aligned} \sum_{i=1}^{100} i &= \frac{100 \cdot 101}{2} = 5050 \\ \sum_{i=1}^{4} i^2 &= \frac{4 \cdot 5 \cdot 9}{6} = 30 \\ \sum_{i=0}^{4} 2^i &= \frac{1 - 2^5}{1 - 2} = 31 \end{aligned}
Mit den Rechenregeln können wir diese Formeln herleiten.
20.1.3 Indexschreibweise
Es gibt Situationen, in denen wir nicht über aufeinanderfolgende Zahlen summieren, sondern über die Elemente einer Menge. Dann geben wir am Summenzeichen nicht die Unter- und Obergrenze an, sondern die Menge, deren Elemente der Index durchläuft.
Beispiel
Wir geben die Menge M = \{2, 3, 5, 7\} vor, dann ist
\sum_{i \in M} x_i = x_2 + x_3 + x_5 + x_7.