22 Integration
Wir wollen uns in diesem Kapitel mit dem Riemann-Integral beschäftigen. Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation und sie stellt eine Methode dar, um Flächen zwischen der x-Achse und dem Graphen einer Funktion zu bestimmen. Während wir für die Differentiation nur wenige Regeln benötigen und für alle relevanten Funktionen einfach die Ableitung bestimmen können, gibt es schon sehr einfache (und leider auch wichtige) Funktionen, die wir nicht ohne Weiteres integrieren können. So finden wir zum Beispiel keine elementare Funktion, deren Ableitung die für die Statistik wichtige Glockenkurve f(x) = \mathrm{e}^{-x^2} ist.
22.1 Ober- und Untersummen
Es gibt mehrere Möglichkeiten, sich dem Integral einer Funktion zu nähern. Betrachten wir folgendes Problem. Gegeben ist eine Funktion f: I \to \mathbb{R}, die auf einem Intervall I \subseteq \mathbb{R} definiert ist. Nun wollen wir die Fläche bestimmen, die von der Funktion f und der x-Achse in einem Intervall [a, b] \subseteq I eingeschlossen wird.
Idee
Die Idee ist, die Fläche unter der Funktion durch zwei andere Flächen, die Obersumme O_n und die Untersumme U_n, anzunähern. Es stellt sich heraus, dass die Näherungen für wachsendes n besser werden und sich dem wahren Wert annähern.
Wir teilen das Intervall [a, b] in n gleich breite Intervalle I_k mit k = 1, \cdots, n ein. Diese haben jeweils die Breite \Delta x = \frac{b-a}{n}. Wir nennen die Intervallgrenzen a, a + \Delta x, a + 2\Delta x, \cdots, a + n\Delta x = b die Stützstellen.
Die Fläche F unter der Kurve kann nun durch eine Obersumme O_n, also die Summe der größeren Rechtecke (in den Grafiken rot und blau), nach oben abgeschätzt werden und durch eine Untersumme U_n (in den Grafiken nur die blauen Rechtecke) nach unten. Es gilt O_n \ge F \ge U_n. Der Übersicht halber verzichten wir in der Notation auf die Grenzen a und b. In Abbildung 22.1 ist die Untersumme U_{11} (blaue Rechtecke) und die Obersumme O_{11} (blaue und rote Rechtecke) eingezeichnet.
In einer Formel können wir die Summen schreiben als
O_n = \sum_{k = 1}^{n} \sup_{x \in I_k} f(x) \cdot \Delta x \qquad \text{und} \qquad U_n = \sum_{k = 1}^{n} \inf_{x \in I_k} f(x) \cdot \Delta x.
Dabei bezeichnet \sup\limits_{x \in I_k} f(x) das Supremum der Funktion f im Intervall I_k und analog \inf\limits_{x \in I_k} f(x) das Infimum der Funktion f im Intervall I_k.
Bemerkungen:
- Im Fall von monotonen Funktionen werden Supremum und Infimum innerhalb der Intervalle genau an den Stützstellen angenommen.
- In manchen Lehrbüchern finden wir statt des Infimums bzw. Supremums der Intervalle die Funktionswerte an den Stützstellen für die beiden Summen U_n bzw. O_n. Am Ende ist das Ergebnis das Gleiche, allerdings sollten wir nicht mehr von Ober- und Untersumme sprechen, da die Ungleichungskette O_n \ge F \ge U_n verletzt sein könnte.
Erhöhen wir nun die Anzahl der Intervalle, so nähern sich die Ober- und die Untersumme einander an, und im Grenzwert n \to \infty sind beide Summen gleich. Wir schreiben
\lim_{n \to \infty} U_n([a, b]) = \lim_{n \to \infty} O_n([a, b]) =: \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x.
Beispiel
Wir wollen die Fläche unter der Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x) = x^2 im Intervall [a, b] berechnen. Im Fall einer monoton steigenden Funktion (das entspricht bei der obigen Funktion einem a \ge 0) wird das Infimum an der linken Grenze und das Supremum an der rechten Grenze des jeweiligen Teilintervalls angenommen. Mit dieser kleinen Spezialisierung ergibt sich
\begin{aligned} O_n([a,b]) & = \Delta x \cdot \sum_{k=1}^n f(a + k\Delta x) \qquad (\text{mit} \; \Delta x = \frac{b-a}{n}) \\[2ex] & = \Delta x \cdot \sum_{k=1}^n \left((a + k\Delta x)^2 \right) \qquad (\text{mit} \; f(x) = x^2)\\[2ex] & = \Delta x \cdot \sum_{k=1}^n \left(a^2 + 2ak\Delta x + k^2\Delta x^2 \right) \\[2ex] & = \Delta x \cdot \underbrace{\sum_{k=1}^n a^2}_{= na^2} + \Delta x \cdot \underbrace{\sum_{k=1}^n 2ak\Delta x}_{= 2a\Delta x \sum_{k=1}^n k} + \Delta x \cdot \underbrace{\sum_{k=1}^n k^2\Delta x^2}_{= \Delta x^2 \sum_{k=1}^{n} k^2} \\[2ex] & = \frac{b-a}{n}na^2 + \frac{b-a}{n} 2a\frac{b-a}{n} \frac{1}{2}n(n+1) + \frac{b-a}{n} \left(\frac{b-a}{n}\right)^2 \frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) \\ & = ba^2 - a^3 + ab^2 - 2a^2b + a^3 + \frac{ab^2 - 2a^2b + a^3}{n} + \frac{b^3 - 3 b^2 a + 3 ba^2 - a^3}{n^3} \left( \frac{1}{6}(2n^3 + 3n^2 + n)\right) \\ & = ba^2 + ab^2 - 2a^2b + \frac{ab^2 - 2a^2b + a^3}{n} + \frac{1}{3}b^3 -b^2 a + ba^2 -\frac{1}{3}a^3 + \frac{b^3 - 3b^2 a + 3ba^2 - a^3}{2n} \\ & \quad + \frac{b^3 - 3b^2 a + 3ba^2 - a^3}{6n^2} \\[2ex] & = \frac{1}{3} b^3 - \frac{1}{3} a^3 \\ & \quad + \frac{1}{n} \left(\frac{1}{2}b^3 - \frac{1}{2}b^2 a - \frac{1}{2}ba^2 + \frac{1}{2}a^3\right) \\ & \quad + \frac{1}{n^2}\left(\frac{1}{6}b^3 - \frac{3}{6}b^2 a + \frac{3}{6}ba^2 - \frac{1}{6}a^3\right) \\[2ex] & = \frac{1}{3} b^3 - \frac{1}{3} a^3 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right) + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right) \end{aligned}
Für die Untersumme ändern wir in den Gleichungen oben lediglich die Summationsgrenzen. Statt von k = 1 bis n summieren wir über k=0 bis n-1. Es ergibt sich komplett analog zur Obersumme
U_n([a, b]) = \frac{1}{3} b^3 - \frac{1}{3} a^3 + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n}\right) + \mathcal{O}\left(\frac{1}{n^2}\right).
Dabei ist \mathcal{O} das Landau-Symbol. Dies bedeutet, dass die Terme von n abhängen und so skalieren, wie das Argument in den Klammern angibt. Im obigen Fall haben wir zwei Terme, die für wachsende n gegen null gehen. Dies bedeutet, dass
\lim_{n \to \infty} O_n([a, b]) = \lim_{n \to \infty} U_n([a, b]) = \frac{1}{3} (b^3 - a^3).
Für das Intervall [1, 2] ergeben sich zum Beispiel die folgenden Werte. Der exakte Wert ist \frac{1}{3}(2^3 - 1^3) = \frac{7}{3} \approx 2.333333.
| n | \Delta x | U_n | O_n | \frac{1}{2}(U_n+O_n) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.000000 | 1.000000 | 4.000000 | 2.500000 |
| 2 | 0.500000 | 1.625000 | 3.125000 | 2.375000 |
| 4 | 0.250000 | 1.968750 | 2.718750 | 2.343750 |
| 8 | 0.125000 | 2.148438 | 2.523438 | 2.335938 |
| 16 | 0.062500 | 2.240234 | 2.427734 | 2.333984 |
| 32 | 0.031250 | 2.286621 | 2.380371 | 2.333496 |
| 64 | 0.015625 | 2.309937 | 2.356812 | 2.333374 |
22.2 Stammfunktion und unbestimmtes Integral
Die Integration ist die Umkehrung der Differentiation. Gegeben ist also eine Funktion f: I \to \mathbb{R} mit dem Funktionsterm f(x) und gesucht ist eine Funktion F, so dass F'(x) = f(x) gilt.
Offenbar ist diese Funktion nicht eindeutig, da additive Konstanten beim Differenzieren verschwinden:
(F(x) + c)' = F'(x) = f(x).
Daher geben wir bei einer Stammfunktion immer auch die additive Konstante an. Bei vielen Anwendungen, zum Beispiel dem Lösen von Differentialgleichungen, ist die Integrationskonstante wichtig. Sie wird dann zum Beispiel durch eine Anfangsbedingung festgelegt.
| Funktion f(x) | Stammfunktion F(x) | |
|---|---|---|
| c | D = \mathbb{R}\; und \;c \in \mathbb{R} | cx + C |
| x^\alpha | D = \mathbb{R}\; und \;\alpha \in \mathbb{R} \setminus \{-1\} | \frac{1}{\alpha+1} \cdot x^{\alpha+1} + C |
| x^{-1} | D = \mathbb{R} \setminus \{0\} | \ln(|x|) + C |
| \mathsf{e}^x | D = \mathbb{R} | \mathsf{e}^x + C |
| a^x | D = \mathbb{R}\; und \;a \in \mathbb{R}_{>0} \setminus \{1\} | \frac{1}{\ln(a)} \cdot a^x + C |
| \sin(x) | D = \mathbb{R} | -\cos(x) + C |
| \cos(x) | D = \mathbb{R} | \sin(x) + C |
22.3 Bestimmtes Integral
22.3.1 Grundlage
Beispiel
Wir wollen die Fläche unter der Funktion f: \mathbb{R} \setminus \{0\} \to \mathbb{R} mit f(x) = \frac{1}{x} im Intervall [1, \mathsf{e}] bestimmen. Dazu berechnen wir
\begin{aligned} \int_{1}^{\mathsf{e}} \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x & = \left[\ln(|x|)\right]_{1}^{\mathsf{e}} \\ & = \ln(\mathsf{e}) - \ln(1) \\ & = 1 - 0 \\ & = 1 \end{aligned}
Aus dem Teil II. des Fundamentalsatzes der Analysis folgt sofort der folgende Satz.
22.3.2 Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale sind dann von Bedeutung, wenn die Grenze eines Integrals nicht im Definitionsbereich der Funktion, die integriert wird, liegt. Dabei müssen wir zwei Fälle unterscheiden:
Uneigentliches Integral 1. Art: Dieser Fall ist dann gegeben, wenn die Funktion über einen unbeschränkten Bereich integriert werden soll, also wenn mindestens eine der Grenzen -\infty oder \infty ist.
Uneigentliches Integral 2. Art: In diesem Fall ist mindestens eine Grenze des Integrals kritisch. Dies bedeutet, dass die Funktion an mindestens einer der Grenzen des Integrals eine Singularität hat und die Funktion selbst dort nicht definiert ist.
Beispiel 1
Wir wollen die Fläche berechnen, die von der Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x) = \mathsf{e}^{-x} und den beiden Achsen eingeschlossen wird. Dazu muss ein Integral bestimmt werden, bei dem die obere Grenze gegen unendlich läuft.
\begin{aligned} \lim_{a \to \infty} \int_{0}^{a} \mathsf{e}^{-x}\,\mathrm{d}x & = \int_{0}^{\infty} \mathsf{e}^{-x}\,\mathrm{d}x \\ & = \left[-\mathsf{e}^{-x} \right]_{0}^{\infty} \\ & = 0 - (-\mathsf{e}^0) \\ & = 1 \end{aligned}
Beispiel 2
Im zweiten Beispiel liegt die untere Grenze nicht im Definitionsbereich der Funktion:
\begin{aligned} \lim_{a \to 0^{+}} \int_{a}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x & = \int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x \\ & = \int_{0}^{1} x^{-\frac{1}{2}}\,\mathrm{d}x \\ & = \left[\frac{1}{-\frac{1}{2} + 1} x^{-\frac{1}{2} +1} \right]_0^{1} \\ & = \left[2x^{\frac{1}{2}}\right]_{0}^{1} \\ & = \left[2\sqrt{x} \right]_0^1 \\ & = 2 - 0 \\ & = 2 \end{aligned}
22.3.3 Übersicht
\int f(x)\, \mathrm{d}x \qquad \text{bzw.} \qquad \int_{a}^{b} f(x)\, \mathrm{d}x
| Komponente | Name | Bedeutung |
|---|---|---|
| \int | Integralsymbol | Zeigt an, dass eine Integration durchgeführt wird. |
| a | Untere Grenze | Startpunkt des Integrationsintervalls (bei bestimmtem Integral). |
| b | Obere Grenze | Endpunkt des Integrationsintervalls (bei bestimmtem Integral). |
| f(x) | Integrand | Die zu integrierende Funktion. |
| x | Integrationsvariable | Variable, über die integriert wird. |
| \mathrm{d}x | Differentialelement | Gibt an, in Bezug auf welche Variable integriert wird. |
| \int f(x)\,\mathrm{d}x | Unbestimmtes Integral | Familie der Stammfunktionen von f(x). |
| \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x | Bestimmtes Integral | Zahl (Flächeninhalt unter der Kurve zwischen a und b). |
22.4 Integrationsmethoden
Leider treten Funktionen nicht immer in der elementaren Form, wie sie in Tabelle 22.1 aufgelistet sind, auf. Daher benötigen wir einige Regeln und Methoden, um kompliziertere Integrale zu lösen. Wie der Comic in Abbildung 22.3 schon nahelegt, ist es in vielen Fällen schwierig bzw. unmöglich, eine Stammfunktion für eine gegebene Funktion zu bestimmen, die aus elementaren Funktionen besteht. Unter elementaren Funktionen verstehen wir Polynome, Potenzfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmen und trigonometrische Funktionen.
Wir wollen mit ein paar grundlegenden Rechenregeln für Integrale anfangen, bevor wir uns zwei Methoden zuwenden, um komplexere Integrale zu lösen.
Dieser Satz bedeutet zum einen, dass multiplikative Konstanten (die also unabhängig von der Integrationsvariablen sind!) vor das Integral gezogen werden können, und zum anderen, dass das Integral einer Summe die Summe der Integrale ist.
Beispiel 1
Wenn wir eine Stammfunktion der Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit f(x) = 5x^3 + 2x -6 suchen, dann können wir die Stammfunktion wie folgt berechnen:
\begin{aligned} F(x) & = \int f(x)\,\mathrm{d}x \\ & = \int 5x^3 + 2x - 6\,\mathrm{d}x \\ & = 5 \int x^3\,\mathrm{d}x + 2\int x\,\mathrm{d}x - 6 \int 1\,\mathrm{d}x \\ & = 5 \frac{x^4}{4} + 2 \frac{x^2}{2} - 6 x + C \\ & = \frac{5}{4}x^4 + x^2 -6x + C \end{aligned}
Beispiel 2
Wir wollen die Fläche, die zwischen der x-Achse und der Funktion f(x) = 9 - x^2 eingeschlossen wird, bestimmen. Die Funktion schneidet die x-Achse bei x_1=-3 und x_2=3. Daher müssen wir das folgende bestimmte Integral berechnen:
\begin{aligned} \int_{-3}^{3} 9-x^2\,\mathrm{d}x & = \left[9x-\frac{1}{3} x^3 \right]_{-3}^{3} \\ & = \left(27 - \frac{27}{3}\right) - \left(-27 + \frac{27}{3}\right) \\ & = 18 + 18 \\ & = 36 \end{aligned}
Selbsttest
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 1.6 x^3 - 2.4 x^2 - 2 x - 0.2
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(5) = 6.7 ist. Dann ist F(7) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 1.6 x^3 - 2.4 x^2 - 2 x - 0.2\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{1.6}{4} x^4 - \frac{2.4}{3} x^3 - \frac{2}{2} x^2 - 0.2 x + C \\ & = - 0.4 x^4 - 0.8 x^3 - 1 x^2 - 0.2 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 6.7- F(5) \\ & = -902.5 \end{aligned}
- C = -902.5
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 1.6 x^3 + 5.7 x^2 + 6 x + 5.4
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(-2) = 4.7 ist. Dann ist F(-1) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 1.6 x^3 + 5.7 x^2 + 6 x + 5.4\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{1.6}{4} x^4 + \frac{5.7}{3} x^3 + \frac{6}{2} x^2 + 5.4 x + C \\ & = - 0.4 x^4 + 1.9 x^3 + 3 x^2 + 5.4 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 4.7- F(-2) \\ & = 20.4 \end{aligned}
- C = 20.4
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 2.4 x^3 + 3 x^2 - 5.8 x - 11.5
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(-2) = 5.7 ist. Dann ist F(4) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 2.4 x^3 + 3 x^2 - 5.8 x - 11.5\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{2.4}{4} x^4 + \frac{3}{3} x^3 - \frac{5.8}{2} x^2 - 11.5 x + C \\ & = - 0.6 x^4 + 1 x^3 - 2.9 x^2 - 11.5 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 5.7- F(-2) \\ & = -170.1 \end{aligned}
- C = -170.1
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 1.6 x^3 + 2.7 x^2 - 6 x + 2.1
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(-1) = 7.8 ist. Dann ist F(3) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 1.6 x^3 + 2.7 x^2 - 6 x + 2.1\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{1.6}{4} x^4 + \frac{2.7}{3} x^3 - \frac{6}{2} x^2 + 2.1 x + C \\ & = 0.4 x^4 + 0.9 x^3 - 3 x^2 + 2.1 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 7.8- F(-1) \\ & = 49.4 \end{aligned}
- C = 49.4
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 2 x^3 + 4.5 x^2 + 4.4 x + 11.2
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(1) = 5.1 ist. Dann ist F(2) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 2 x^3 + 4.5 x^2 + 4.4 x + 11.2\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{2}{4} x^4 + \frac{4.5}{3} x^3 + \frac{4.4}{2} x^2 + 11.2 x + C \\ & = 0.5 x^4 + 1.5 x^3 + 2.2 x^2 + 11.2 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 5.1- F(1) \\ & = 40.9 \end{aligned}
- C = 40.9
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 3.2 x^3 + 1.8 x^2 - 6.6 x - 5.4
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(1) = 6.6 ist. Dann ist F(2) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 3.2 x^3 + 1.8 x^2 - 6.6 x - 5.4\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{3.2}{4} x^4 + \frac{1.8}{3} x^3 - \frac{6.6}{2} x^2 - 5.4 x + C \\ & = - 0.8 x^4 + 0.6 x^3 - 3.3 x^2 - 5.4 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 6.6- F(1) \\ & = -16.5 \end{aligned}
- C = -16.5
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 0.4 x^3 + 4.2 x^2 - 7 x - 0.1
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(0) = -3.7 ist. Dann ist F(2) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 0.4 x^3 + 4.2 x^2 - 7 x - 0.1\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{0.4}{4} x^4 + \frac{4.2}{3} x^3 - \frac{7}{2} x^2 - 0.1 x + C \\ & = - 0.1 x^4 + 1.4 x^3 - 3.5 x^2 - 0.1 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = -3.7- F(0) \\ & = -8.3 \end{aligned}
- C = -8.3
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 2.4 x^3 - 2.4 x^2 + 5.4 x - 10.2
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(4) = 3.5 ist. Dann ist F(6) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 2.4 x^3 - 2.4 x^2 + 5.4 x - 10.2\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{2.4}{4} x^4 - \frac{2.4}{3} x^3 + \frac{5.4}{2} x^2 - 10.2 x + C \\ & = - 0.6 x^4 - 0.8 x^3 + 2.7 x^2 - 10.2 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 3.5- F(4) \\ & = -708.5 \end{aligned}
- C = -708.5
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 3.2 x^3 + 3 x^2 - 8.6 x - 9.9
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(2) = 8.8 ist. Dann ist F(3) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 3.2 x^3 + 3 x^2 - 8.6 x - 9.9\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{3.2}{4} x^4 + \frac{3}{3} x^3 - \frac{8.6}{2} x^2 - 9.9 x + C \\ & = 0.8 x^4 + 1 x^3 - 4.3 x^2 - 9.9 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 8.8- F(2) \\ & = 48.4 \end{aligned}
- C = 48.4
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 2.8 x^3 + 3.6 x^2 - 4.4 x + 2.2
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(1) = 7.2 ist. Dann ist F(6) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 2.8 x^3 + 3.6 x^2 - 4.4 x + 2.2\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{2.8}{4} x^4 + \frac{3.6}{3} x^3 - \frac{4.4}{2} x^2 + 2.2 x + C \\ & = 0.7 x^4 + 1.2 x^3 - 2.2 x^2 + 2.2 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 7.2- F(1) \\ & = 1105.7 \end{aligned}
- C = 1105.7
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 2 x^3 + 1.8 x^2 + 3.4 x + 2.9
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(0) = 2.5 ist. Dann ist F(4) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 2 x^3 + 1.8 x^2 + 3.4 x + 2.9\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{2}{4} x^4 + \frac{1.8}{3} x^3 + \frac{3.4}{2} x^2 + 2.9 x + C \\ & = - 0.5 x^4 + 0.6 x^3 + 1.7 x^2 + 2.9 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 2.5- F(0) \\ & = -48.3 \end{aligned}
- C = -48.3
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 0.4 x^3 + 0.6 x^2 - 5.6 x + 2.7
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(0) = 8.6 ist. Dann ist F(3) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 0.4 x^3 + 0.6 x^2 - 5.6 x + 2.7\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{0.4}{4} x^4 + \frac{0.6}{3} x^3 - \frac{5.6}{2} x^2 + 2.7 x + C \\ & = - 0.1 x^4 + 0.2 x^3 - 2.8 x^2 + 2.7 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 8.6- F(0) \\ & = -11.2 \end{aligned}
- C = -11.2
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 3.2 x^3 + 3 x^2 - 1.4 x - 4.1
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(-1) = 6.4 ist. Dann ist F(0) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 3.2 x^3 + 3 x^2 - 1.4 x - 4.1\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{3.2}{4} x^4 + \frac{3}{3} x^3 - \frac{1.4}{2} x^2 - 4.1 x + C \\ & = 0.8 x^4 + 1 x^3 - 0.7 x^2 - 4.1 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 6.4- F(-1) \\ & = 3.2 \end{aligned}
- C = 3.2
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 0.8 x^3 + 1.5 x^2 + 5 x + 0.9
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(0) = 8.9 ist. Dann ist F(7) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 0.8 x^3 + 1.5 x^2 + 5 x + 0.9\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{0.8}{4} x^4 + \frac{1.5}{3} x^3 + \frac{5}{2} x^2 + 0.9 x + C \\ & = 0.2 x^4 + 0.5 x^3 + 2.5 x^2 + 0.9 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 8.9- F(0) \\ & = 789.4 \end{aligned}
- C = 789.4
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 2.4 x^3 + 2.7 x^2 - 6 x + 4.5
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(0) = -0.5 ist. Dann ist F(1) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 2.4 x^3 + 2.7 x^2 - 6 x + 4.5\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{2.4}{4} x^4 + \frac{2.7}{3} x^3 - \frac{6}{2} x^2 + 4.5 x + C \\ & = 0.6 x^4 + 0.9 x^3 - 3 x^2 + 4.5 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = -0.5- F(0) \\ & = 2.5 \end{aligned}
- C = 2.5
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 2.8 x^3 - 1.8 x^2 - 6.4 x - 0.8
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(6) = 3.9 ist. Dann ist F(8) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 2.8 x^3 - 1.8 x^2 - 6.4 x - 0.8\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{2.8}{4} x^4 - \frac{1.8}{3} x^3 - \frac{6.4}{2} x^2 - 0.8 x + C \\ & = 0.7 x^4 - 0.6 x^3 - 3.2 x^2 - 0.8 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 3.9- F(6) \\ & = 1695.1 \end{aligned}
- C = 1695.1
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 0.8 x^3 - 3.9 x^2 - 7.4 x + 2.5
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(3) = 4.3 ist. Dann ist F(7) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 0.8 x^3 - 3.9 x^2 - 7.4 x + 2.5\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{0.8}{4} x^4 - \frac{3.9}{3} x^3 - \frac{7.4}{2} x^2 + 2.5 x + C \\ & = - 0.2 x^4 - 1.3 x^3 - 3.7 x^2 + 2.5 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 4.3- F(3) \\ & = -1008.5 \end{aligned}
- C = -1008.5
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 3.2 x^3 - 2.4 x^2 + 4.2 x + 2.8
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(-1) = -4.2 ist. Dann ist F(0) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 3.2 x^3 - 2.4 x^2 + 4.2 x + 2.8\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{3.2}{4} x^4 - \frac{2.4}{3} x^3 + \frac{4.2}{2} x^2 + 2.8 x + C \\ & = - 0.8 x^4 - 0.8 x^3 + 2.1 x^2 + 2.8 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = -4.2- F(-1) \\ & = -3.5 \end{aligned}
- C = -3.5
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 0.8 x^3 + 5.4 x^2 + 4.8 x - 9
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(2) = -1.5 ist. Dann ist F(4) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 0.8 x^3 + 5.4 x^2 + 4.8 x - 9\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{0.8}{4} x^4 + \frac{5.4}{3} x^3 + \frac{4.8}{2} x^2 - 9 x + C \\ & = - 0.2 x^4 + 1.8 x^3 + 2.4 x^2 - 9 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = -1.5- F(2) \\ & = 62.1 \end{aligned}
- C = 62.1
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 1.2 x^3 - 2.1 x^2 + 1.2 x + 8.5
Bestimmen Sie die Stammfunktion F der Funktion f derart, dass F(1) = 7.7 ist. Dann ist F(4) =
Damit ist das folgende Integral zu berechnen:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 1.2 x^3 - 2.1 x^2 + 1.2 x + 8.5\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{1.2}{4} x^4 - \frac{2.1}{3} x^3 + \frac{1.2}{2} x^2 + 8.5 x + C \\ & = - 0.3 x^4 - 0.7 x^3 + 0.6 x^2 + 8.5 x + C \end{aligned}
Nun bestimmt man C mittels
\begin{aligned} C & = 7.7- F(1) \\ & = -78.4 \end{aligned}
- C = -78.4
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 0.4 x^3 - 5.4 x^2 + 8.8 x + 8.3
Bestimmen Sie \int\limits_{-1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 0.4 x^3 - 5.4 x^2 + 8.8 x + 8.3\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{0.4}{4} x^4 - \frac{5.4}{3} x^3 + \frac{8.8}{2} x^2 + 8.3 x + C \\ & = 0.1 x^4 - 1.8 x^3 + 4.4 x^2 + 8.3 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-1}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(3) - F(-1) \\ & = 26. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 2 x^3 + 4.5 x^2 - 7.2 x - 10
Bestimmen Sie \int\limits_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 2 x^3 + 4.5 x^2 - 7.2 x - 10\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{2}{4} x^4 + \frac{4.5}{3} x^3 - \frac{7.2}{2} x^2 - 10 x + C \\ & = 0.5 x^4 + 1.5 x^3 - 3.6 x^2 - 10 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-1}^{2} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(2) - F(-1) \\ & = -19.8. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 2 x^3 + 3.3 x^2 - 7 x + 2.7
Bestimmen Sie \int\limits_{-3}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 2 x^3 + 3.3 x^2 - 7 x + 2.7\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{2}{4} x^4 + \frac{3.3}{3} x^3 - \frac{7}{2} x^2 + 2.7 x + C \\ & = - 0.5 x^4 + 1.1 x^3 - 3.5 x^2 + 2.7 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-3}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(3) - F(-3) \\ & = 75.6. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 2 x^3 + 1.2 x^2 + 5.4 x - 1.2
Bestimmen Sie \int\limits_{-1}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 2 x^3 + 1.2 x^2 + 5.4 x - 1.2\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{2}{4} x^4 + \frac{1.2}{3} x^3 + \frac{5.4}{2} x^2 - 1.2 x + C \\ & = 0.5 x^4 + 0.4 x^3 + 2.7 x^2 - 1.2 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-1}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(5) - F(-1) \\ & = 420. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 1.6 x^3 - 6 x^2 - 1.2 x + 12
Bestimmen Sie \int\limits_{-2}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 1.6 x^3 - 6 x^2 - 1.2 x + 12\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{1.6}{4} x^4 - \frac{6}{3} x^3 - \frac{1.2}{2} x^2 + 12 x + C \\ & = 0.4 x^4 - 2 x^3 - 0.6 x^2 + 12 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-2}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(6) - F(-2) \\ & = 140.8. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 1.6 x^3 + 4.2 x^2 - 6.4 x - 0.1
Bestimmen Sie \int\limits_{1}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 1.6 x^3 + 4.2 x^2 - 6.4 x - 0.1\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{1.6}{4} x^4 + \frac{4.2}{3} x^3 - \frac{6.4}{2} x^2 - 0.1 x + C \\ & = - 0.4 x^4 + 1.4 x^3 - 3.2 x^2 - 0.1 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{1}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(6) - F(1) \\ & = -329.5. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 2.8 x^3 + 5.7 x^2 + 3.6 x - 9
Bestimmen Sie \int\limits_{-3}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 2.8 x^3 + 5.7 x^2 + 3.6 x - 9\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{2.8}{4} x^4 + \frac{5.7}{3} x^3 + \frac{3.6}{2} x^2 - 9 x + C \\ & = 0.7 x^4 + 1.9 x^3 + 1.8 x^2 - 9 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-3}^{4} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(4) - F(-3) \\ & = 245. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 2.8 x^3 + 2.4 x^2 - 2.8 x - 2.3
Bestimmen Sie \int\limits_{-4}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 2.8 x^3 + 2.4 x^2 - 2.8 x - 2.3\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{2.8}{4} x^4 + \frac{2.4}{3} x^3 - \frac{2.8}{2} x^2 - 2.3 x + C \\ & = - 0.7 x^4 + 0.8 x^3 - 1.4 x^2 - 2.3 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-4}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(7) - F(-4) \\ & = -1247.4. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 1.2 x^3 - 0.6 x^2 - 1 x - 2.3
Bestimmen Sie \int\limits_{-4}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 1.2 x^3 - 0.6 x^2 - 1 x - 2.3\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{1.2}{4} x^4 - \frac{0.6}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 2.3 x + C \\ & = 0.3 x^4 - 0.2 x^3 - 0.5 x^2 - 2.3 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-4}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(7) - F(-4) \\ & = 520.3. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 1.2 x^3 + 0.3 x^2 + 2.8 x - 7.7
Bestimmen Sie \int\limits_{-4}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 1.2 x^3 + 0.3 x^2 + 2.8 x - 7.7\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{1.2}{4} x^4 + \frac{0.3}{3} x^3 + \frac{2.8}{2} x^2 - 7.7 x + C \\ & = - 0.3 x^4 + 0.1 x^3 + 1.4 x^2 - 7.7 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-4}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(5) - F(-4) \\ & = -148.5. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 1.6 x^3 - 2.4 x^2 - 7.8 x + 1.7
Bestimmen Sie \int\limits_{1}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 1.6 x^3 - 2.4 x^2 - 7.8 x + 1.7\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{1.6}{4} x^4 - \frac{2.4}{3} x^3 - \frac{7.8}{2} x^2 + 1.7 x + C \\ & = - 0.4 x^4 - 0.8 x^3 - 3.9 x^2 + 1.7 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{1}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(7) - F(1) \\ & = -1410.6. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 0.8 x^3 - 2.1 x^2 - 1 x - 11.2
Bestimmen Sie \int\limits_{-2}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 0.8 x^3 - 2.1 x^2 - 1 x - 11.2\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{0.8}{4} x^4 - \frac{2.1}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 - 11.2 x + C \\ & = - 0.2 x^4 - 0.7 x^3 - 0.5 x^2 - 11.2 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-2}^{3} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(3) - F(-2) \\ & = -96. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 2.4 x^3 + 5.4 x^2 + 8.6 x + 3.9
Bestimmen Sie \int\limits_{3}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 2.4 x^3 + 5.4 x^2 + 8.6 x + 3.9\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{2.4}{4} x^4 + \frac{5.4}{3} x^3 + \frac{8.6}{2} x^2 + 3.9 x + C \\ & = - 0.6 x^4 + 1.8 x^3 + 4.3 x^2 + 3.9 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{3}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(6) - F(3) \\ & = -261. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 0.8 x^3 - 4.2 x^2 - 7.4 x - 3.4
Bestimmen Sie \int\limits_{-2}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 0.8 x^3 - 4.2 x^2 - 7.4 x - 3.4\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{0.8}{4} x^4 - \frac{4.2}{3} x^3 - \frac{7.4}{2} x^2 - 3.4 x + C \\ & = - 0.2 x^4 - 1.4 x^3 - 3.7 x^2 - 3.4 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-2}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(7) - F(-2) \\ & = -1165.5. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 2 x^3 + 0.3 x^2 + 4 x - 9.7
Bestimmen Sie \int\limits_{0}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 2 x^3 + 0.3 x^2 + 4 x - 9.7\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{2}{4} x^4 + \frac{0.3}{3} x^3 + \frac{4}{2} x^2 - 9.7 x + C \\ & = 0.5 x^4 + 0.1 x^3 + 2 x^2 - 9.7 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(7) - F(0) \\ & = 1264.9. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 2.4 x^3 + 0.3 x^2 + 9 x + 3.6
Bestimmen Sie \int\limits_{1}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 2.4 x^3 + 0.3 x^2 + 9 x + 3.6\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{2.4}{4} x^4 + \frac{0.3}{3} x^3 + \frac{9}{2} x^2 + 3.6 x + C \\ & = - 0.6 x^4 + 0.1 x^3 + 4.5 x^2 + 3.6 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{1}^{7} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(7) - F(1) \\ & = -1168.2. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 2.8 x^3 + 0.9 x^2 - 6.8 x + 2.6
Bestimmen Sie \int\limits_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 2.8 x^3 + 0.9 x^2 - 6.8 x + 2.6\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{2.8}{4} x^4 + \frac{0.9}{3} x^3 - \frac{6.8}{2} x^2 + 2.6 x + C \\ & = - 0.7 x^4 + 0.3 x^3 - 3.4 x^2 + 2.6 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(5) - F(0) \\ & = -472. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = - 2.8 x^3 + 2.7 x^2 - 5 x - 5.1
Bestimmen Sie \int\limits_{2}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int - 2.8 x^3 + 2.7 x^2 - 5 x - 5.1\,\mathrm{d}x \\ & = - \frac{2.8}{4} x^4 + \frac{2.7}{3} x^3 - \frac{5}{2} x^2 - 5.1 x + C \\ & = - 0.7 x^4 + 0.9 x^3 - 2.5 x^2 - 5.1 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{2}^{6} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(6) - F(2) \\ & = -809.2. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 2 x^3 + 6 x^2 + 8.6 x + 1.3
Bestimmen Sie \int\limits_{-4}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 2 x^3 + 6 x^2 + 8.6 x + 1.3\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{2}{4} x^4 + \frac{6}{3} x^3 + \frac{8.6}{2} x^2 + 1.3 x + C \\ & = 0.5 x^4 + 2 x^3 + 4.3 x^2 + 1.3 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-4}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(5) - F(-4) \\ & = 612.9. \end{aligned}
Gegeben ist die Funktion f mit
f(x) = 1.6 x^3 + 5.1 x^2 + 8.8 x - 5.1
Bestimmen Sie \int\limits_{-4}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x=
Wir bestimmen zuerst eine Stammfunktion:
\begin{aligned} F(x) &= \int f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = \int 1.6 x^3 + 5.1 x^2 + 8.8 x - 5.1\,\mathrm{d}x \\ & = \frac{1.6}{4} x^4 + \frac{5.1}{3} x^3 + \frac{8.8}{2} x^2 - 5.1 x + C \\ & = 0.4 x^4 + 1.7 x^3 + 4.4 x^2 - 5.1 x + C \end{aligned}
Durch Einsetzen der Grenzen in das bestimmte Integral können wir den Wert des Integrals bestimmen. Es ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{-4}^{5} f(x)\,\mathrm{d}x & = F(5) - F(-4) \\ & = 462.6. \end{aligned}
Diese Formel ist für den Fall a < b < c sehr anschaulich, wie wir in Abbildung 22.4 leicht sehen können: Die Gesamtfläche wird in zwei Teilflächen zerlegt, und offenbar ist die Gesamtfläche die Summe der beiden Einzelflächen.
Für den Fall, dass a < c < b ist, können wir das Vorzeichen des zweiten Integrals durch Vertauschen der Grenzen ändern:
\begin{aligned} \int_{a}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x & = \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x + \int_{b}^{c} f(x)\,\mathrm{d}x \\ & = \int_{a}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x - \int_{c}^{b} f(x)\,\mathrm{d}x. \end{aligned}
Dies bedeutet anschaulich, dass von der gesamten Fläche ein Teil abgezogen wird.
Die Additivität bei den bestimmten Integralen ist insbesondere dann nützlich, wenn eine Funktion Knicke hat, unstetig ist oder abschnittsweise definiert ist. Beispiele dafür sind Betragsfunktionen oder die folgende abschnittsweise definierte Funktion.
Beispiel
Betrachten wir die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
\begin{aligned} f(x) = \begin{cases} 1 \quad & : & \text{für} \quad 0 \le x \le 2 \\ x^2 + 4 & : & \text{für} \quad 2 < x \le 5 \\ 0 & : & \text{sonst}, \end{cases} \end{aligned}
und bestimmen das bestimmte Integral in den Grenzen von -2 bis 6:
\begin{aligned} \int_{-2}^6 f(x)\,\mathrm{d}x & = \underbrace{\int_{-2}^0 0\,\mathrm{d}x}_{=0} + \int_0^2 1\,\mathrm{d}x + \int_2^5 x^2 + 4 \,\mathrm{d}x + \underbrace{\int_{5}^6 0\,\mathrm{d}x}_{=0} \\ & = \left[x\right]_0^2 + \left[\frac{1}{3}x^3 + 4x\right]_2^5 \\ & = (2 - 0) + \left(\frac{1}{3}5^3 + 4\cdot 5 - \left(\frac{1}{3}2^3 + 4\cdot 2 \right) \right) \\ & = 53. \end{aligned}
Selbsttest
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{5.1} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 4.2 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-5.1) \\ & = x^3 -(a+5.1) x^2 + 5.1ax \\ & = x^3 - 9.3 x^2 + 21.42 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+5.1}{3} x^3 + 2.55ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 3.1x^3 + 10.71 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{5.1} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 4.2) und f(x) < 0 für x \in (4.2, 5.1). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{5.1} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{4.2} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{4.2}^{5.1} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{4.2} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{4.2}^{5.1} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(4.2) - F(0) - F(5.1) + F(4.2) \\ & = 2F(4.2) - F(0) -F(5.1) \\ & \approx 50.4718 \end{aligned}
- a = 4.2
- b = 5.1
- A = 50.4718
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{6.3} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 5.1 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-6.3) \\ & = x^3 -(a+6.3) x^2 + 6.3ax \\ & = x^3 - 11.4 x^2 + 32.13 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+6.3}{3} x^3 + 3.15ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 3.8x^3 + 16.065 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{6.3} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 5.1) und f(x) < 0 für x \in (5.1, 6.3). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{6.3} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{5.1} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{5.1}^{6.3} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{5.1} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{5.1}^{6.3} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(5.1) - F(0) - F(6.3) + F(5.1) \\ & = 2F(5.1) - F(0) -F(6.3) \\ & \approx 76.6415 \end{aligned}
- a = 5.1
- b = 6.3
- A = 76.6415
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{5.7} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 2.1 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-5.7) \\ & = x^3 -(a+5.7) x^2 + 5.7ax \\ & = x^3 - 7.8 x^2 + 11.97 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+5.7}{3} x^3 + 2.85ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 2.6x^3 + 5.985 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{5.7} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 2.1) und f(x) < 0 für x \in (2.1, 5.7). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{5.7} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{2.1} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{2.1}^{5.7} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{2.1} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{2.1}^{5.7} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(2.1) - F(0) - F(5.7) + F(2.1) \\ & = 2F(2.1) - F(0) -F(5.7) \\ & \approx 46.7147 \end{aligned}
- a = 2.1
- b = 5.7
- A = 46.7147
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{5.1} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 0.6 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-5.1) \\ & = x^3 -(a+5.1) x^2 + 5.1ax \\ & = x^3 - 5.7 x^2 + 3.06 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+5.1}{3} x^3 + 2.55ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 1.9x^3 + 1.53 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{5.1} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 0.6) und f(x) < 0 für x \in (0.6, 5.1). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{5.1} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{0.6} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{0.6}^{5.1} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{0.6} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{0.6}^{5.1} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(0.6) - F(0) - F(5.1) + F(0.6) \\ & = 2F(0.6) - F(0) -F(5.1) \\ & \approx 76.2946 \end{aligned}
- a = 0.6
- b = 5.1
- A = 76.2946
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{5.1} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 1.5 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-5.1) \\ & = x^3 -(a+5.1) x^2 + 5.1ax \\ & = x^3 - 6.6 x^2 + 7.65 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+5.1}{3} x^3 + 2.55ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 2.2x^3 + 3.825 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{5.1} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 1.5) und f(x) < 0 für x \in (1.5, 5.1). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{5.1} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{1.5} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{1.5}^{5.1} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{1.5} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{1.5}^{5.1} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(1.5) - F(0) - F(5.1) + F(1.5) \\ & = 2F(1.5) - F(0) -F(5.1) \\ & \approx 51.3587 \end{aligned}
- a = 1.5
- b = 5.1
- A = 51.3587
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{6.3} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 4.8 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-6.3) \\ & = x^3 -(a+6.3) x^2 + 6.3ax \\ & = x^3 - 11.1 x^2 + 30.24 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+6.3}{3} x^3 + 3.15ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 3.7x^3 + 15.12 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{6.3} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 4.8) und f(x) < 0 für x \in (4.8, 6.3). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{6.3} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{4.8} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{4.8}^{6.3} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{4.8} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{4.8}^{6.3} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(4.8) - F(0) - F(6.3) + F(4.8) \\ & = 2F(4.8) - F(0) -F(6.3) \\ & \approx 67.5196 \end{aligned}
- a = 4.8
- b = 6.3
- A = 67.5196
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{6.9} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 0.9 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-6.9) \\ & = x^3 -(a+6.9) x^2 + 6.9ax \\ & = x^3 - 7.8 x^2 + 6.21 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+6.9}{3} x^3 + 3.45ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 2.6x^3 + 3.105 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{6.9} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 0.9) und f(x) < 0 für x \in (0.9, 6.9). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{6.9} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{0.9} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{0.9}^{6.9} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{0.9} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{0.9}^{6.9} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(0.9) - F(0) - F(6.9) + F(0.9) \\ & = 2F(0.9) - F(0) -F(6.9) \\ & \approx 61.6943 \end{aligned}
- a = 0.9
- b = 6.9
- A = 61.6943
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{6.3} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 1.8 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-6.3) \\ & = x^3 -(a+6.3) x^2 + 6.3ax \\ & = x^3 - 8.1 x^2 + 11.34 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+6.3}{3} x^3 + 3.15ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 2.7x^3 + 5.67 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{6.3} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 1.8) und f(x) < 0 für x \in (1.8, 6.3). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{6.3} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{1.8} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{1.8}^{6.3} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{1.8} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{1.8}^{6.3} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(1.8) - F(0) - F(6.3) + F(1.8) \\ & = 2F(1.8) - F(0) -F(6.3) \\ & \approx 51.8866 \end{aligned}
- a = 1.8
- b = 6.3
- A = 51.8866
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{5.1} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 2.1 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-5.1) \\ & = x^3 -(a+5.1) x^2 + 5.1ax \\ & = x^3 - 7.2 x^2 + 10.71 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+5.1}{3} x^3 + 2.55ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 2.4x^3 + 5.355 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{5.1} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 2.1) und f(x) < 0 für x \in (2.1, 5.1). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{5.1} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{2.1} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{2.1}^{5.1} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{2.1} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{2.1}^{5.1} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(2.1) - F(0) - F(5.1) + F(2.1) \\ & = 2F(2.1) - F(0) -F(5.1) \\ & \approx 40.4453 \end{aligned}
- a = 2.1
- b = 5.1
- A = 40.4453
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{3.9} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 3 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-3.9) \\ & = x^3 -(a+3.9) x^2 + 3.9ax \\ & = x^3 - 6.9 x^2 + 11.7 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+3.9}{3} x^3 + 1.95ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 2.3x^3 + 5.85 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{3.9} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 3) und f(x) < 0 für x \in (3, 3.9). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{3.9} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{3}^{3.9} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{3} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{3}^{3.9} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(3) - F(0) - F(3.9) + F(3) \\ & = 2F(3) - F(0) -F(3.9) \\ & \approx 23.731 \end{aligned}
- a = 3
- b = 3.9
- A = 23.731
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{3.9} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 3.6 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-3.9) \\ & = x^3 -(a+3.9) x^2 + 3.9ax \\ & = x^3 - 7.5 x^2 + 14.04 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+3.9}{3} x^3 + 1.95ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 2.5x^3 + 7.02 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{3.9} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 3.6) und f(x) < 0 für x \in (3.6, 3.9). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{3.9} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{3.6} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{3.6}^{3.9} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{3.6} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{3.6}^{3.9} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(3.6) - F(0) - F(3.9) + F(3.6) \\ & = 2F(3.6) - F(0) -F(3.9) \\ & \approx 33.0352 \end{aligned}
- a = 3.6
- b = 3.9
- A = 33.0352
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = x \cdot (x-a)\cdot (x-b), \quad \text{mit } 0 < a < b. Ferner definieren wir die Funktion g(x) = |f(x)|.
Der Graph zeigt die Funktion g für die Werte a = und b = .
Bestimmen Sie die eingefärbte Fläche A = \int_0^{6.3} g(x)\,\mathrm{d}x =
Offenbar kann man a = 4.2 aus der Grafik ablesen. Betrachten wir die Funktion f und muiltiplizieren diese aus um sie dann später integrieren zu können:
\begin{aligned} f(x) & = x \cdot (x-a)\cdot (x-6.3) \\ & = x^3 -(a+6.3) x^2 + 6.3ax \\ & = x^3 - 10.5 x^2 + 26.46 x \end{aligned} Damit ergibt sich die Stammfunktion
\begin{aligned} F(x) & = \frac{1}{4}x^4 - \frac{a+6.3}{3} x^3 + 3.15ax^2 + C \\ & = 0.25x^4 - 3.5x^3 + 13.23 x^2 + C \end{aligned}
Um das Intergal \int\limits_{0}^{6.3} g(x)\,\mathrm{d} x zerlegt man das Integral in zwei Teile und nutzt die Tatsache, dass f(x) > 0 für x \in (0, 4.2) und f(x) < 0 für x \in (4.2, 6.3). Damit ergibt sich:
\begin{aligned} \int\limits_{0}^{6.3} g(x)\,\mathrm{d} x & = \int\limits_{0}^{4.2} f(x)\,\mathrm{d} x + \int\limits_{4.2}^{6.3} (-f(x))\,\mathrm{d} x \\ & = \int\limits_{0}^{4.2} f(x)\,\mathrm{d} x - \int\limits_{4.2}^{6.3} f(x)\,\mathrm{d} x \\ & = F(4.2) - F(0) - F(6.3) + F(4.2) \\ & = 2F(4.2) - F(0) -F(6.3) \\ & \approx 52.5562 \end{aligned}
- a = 4.2
- b = 6.3
- A = 52.5562
22.4.1 Partielle Integration
Die partielle Integration ist die Umkehrung der Produktregel, die aus der Differentialrechnung bekannt ist.
Seien u' und v Funktionen von einer Variablen x, dann kann man die partielle Integration für ein bestimmtes Integral schreiben als
\begin{aligned} \int_a^b u'(x) \cdot v(x)\,\mathrm{d}x = \left[ u(x) \cdot v(x)\right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u(x) \cdot v'(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned}
Schreibt man die Ableitungen der Funktionen in der Form
\begin{aligned} u'(x) = \frac{\mathrm{d}u(x)}{\mathrm{d}x} \quad \text{bzw.} \quad v'(x) = \frac{\mathrm{d}v(x)}{\mathrm{d}x} \end{aligned}
und setzt diese in die obige Formel ein, so erhält man eine äquivalente Schreibweise, die sich in vielen Büchern findet.
\begin{aligned} \int_a^b v\,\mathrm{d}u = \left[ u \cdot v\right]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} u\,\mathrm{d}v. \end{aligned}
Dabei sind die Differentiale in unserem Fall \mathrm{d}u = u'(x)\,\mathrm{d}x und analog \mathrm{d}v = v'(x)\,\mathrm{d}x.
Der Vorteil dieser Schreibweise ist, dass sie unabhängig von der Integrationsvariablen (hier x) ist.
Beispiel 1
Gesucht ist eine Stammfunktion zur Funktion g(x) = x \cdot 2^x. Dies bedeutet, wir müssen das Integral
\begin{aligned} \int g(x)\,\mathrm{d}x = \int x \cdot 2^x \mathrm{d}x \end{aligned}
lösen.
Die Frage, die sich nun stellt, ist, welcher der beiden Terme, aus denen g zusammengesetzt ist, abgeleitet und welcher integriert wird. Die Idee ist, dass der Ausdruck im Integral auf der rechten Seite einfacher zu integrieren sein muss als das Integral auf der linken Seite. Wir wählen
\begin{aligned} u(x) = x \qquad \text{und} \qquad v'(x) = 2^x. \end{aligned}
Die Funktion u wird durch diese Wahl beim Ableiten zu einer Konstanten. Die Exponentialfunktion erhält beim Integrieren aber nur einen konstanten Faktor, wird damit also nicht komplizierter. Damit wird die Integration auf der rechten Seite direkt ausführbar.
Somit ergibt sich aus \begin{aligned} u(x) = x \quad & \implies \quad u'(x) = 1 \\ v'(x) = 2^x \quad & \implies \quad v(x) = \frac{2^x}{\ln(2)} \end{aligned} und wir können schreiben
\begin{aligned} \int x \cdot 2^x\,\mathrm{d}x & = x \cdot \frac{2^x}{\ln(2)} - \int 1 \cdot \frac{2^x}{\ln(2)}\,\mathrm{d}x \\ & = x \cdot \frac{2^x}{\ln(2)} - \frac{2^x}{(\ln(2))^2} + C \\ & = \frac{2^x}{\ln(2)} \left( x - \frac{1}{\ln(2)} \right) + C \end{aligned}
Beispiel 2
Betrachten wir das folgende Integral:
\begin{aligned} \int x^2 \cdot \textsf{e}^{x}\,\mathrm{d}x. \end{aligned}
Nach der obigen Bemerkung wählen wir v(x) = x^2 und u'(x) = \textsf{e}^x. Damit ergibt sich v'(x) = 2x und u(x) = \textsf{e}^x, und wir können schreiben
\begin{aligned} \int x^2 \cdot \textsf{e}^{x}\,\mathrm{d}x & = x^2 \cdot \textsf{e}^{x} - \int 2 x \cdot \textsf{e}^{x}\,\mathrm{d}x \\ & = x^2 \cdot \textsf{e}^{x} - \left(2x \cdot \textsf{e}^{x} - \int 2 \cdot \textsf{e}^{x}\,\mathrm{d}x\right) \\ & = x^2 \cdot \textsf{e}^{x} - 2x \cdot \textsf{e}^{x} + 2 \cdot \textsf{e}^{x} + C \\ & = \textsf{e}^{x}\left(x^2 - 2x + 2\right) + C \end{aligned}
Das im zu integrierenden Ausdruck vorkommende Polynom ist nach der ersten Integration nicht mehr vom Grad 2, sondern nur noch vom Grad 1. Wiederholen wir die partielle Integration ein weiteres Mal, so erhalten wir das Ergebnis.
Beispiel 3
Bei manchen Funktionen ist nicht offensichtlich, dass man die partielle Integration nutzen kann, um die Stammfunktion zu bestimmen. Ein einfaches, aber sehr nützliches Beispiel ist die Integration des natürlichen Logarithmus. Da es sich erst einmal nicht um ein Produkt handelt, bedienen wir uns eines Kniffes und schreiben
\int \ln(x)\,\mathrm{d}x = \int 1 \cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x.
Damit erhalten wir
\begin{aligned} \mathrm{d}u = 1 \mathrm{d}x \quad \implies \quad u = x \quad \text{und} \quad v = \ln(x) \quad \implies \quad \mathrm{d}v = \frac{1}{x} \mathrm{d}x \end{aligned}
\begin{aligned} \int \ln(x)\,\mathrm{d}x & = \int 1 \cdot \ln(x)\,\mathrm{d}x \\ & = x \cdot \ln(x) - \int x \cdot \frac{1}{x}\,\mathrm{d} x \\ & = x \cdot \ln(x) - x + C \\ & = x \cdot (\ln(x) -1) + C \end{aligned}
Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom C wachse linear. Sie kennen die beiden Werte des Zahlungsstroms C(3) = 2600 und C(6) = 3800.
Aufgabe 1: Wie lautet die Formel für den Zahlungsstrom: C(t) = \cdot t +
Der Barwert B (auch Gegenwartswert oder Present Value genannt) des Zahlungsstroms über das Zeitintervall [0, T] hat den Wert
B(T) = \int_0^T C(t) \cdot \mathsf{e}^{-rt}\,\mathrm{d}t
wobei \mathsf{e}^{-rt} der (kontinuierliche) Abzinsfaktor ist. Der Parameter r > 0 ist der Zinssatz bzw. die Discountrate und beträgt r = 0.08.
Aufgabe 2: Mit dem obigen Zahlunsstrom ist B(T = 13)= .
Für den Zahlunsstrom ergibt sich: C(t) = 400 \cdot t + 1400
Um die Aufgabe zu lösen, muss das folgende Integral gelöst werden:
B(13) = \int_{0}^{13} (1400 + 400t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t. Um dieses Intergal zu lösen nutzt man die partielle Integration \int uv' = uv - \int u'v
\begin{aligned} u & = 1400 + 400t \\ u' & = 400 \\ v' & = \mathsf{e}^{-0.08t} \\ v & = -\frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t} \end{aligned} Einsetzen ergibt:
\begin{aligned} B(13) & = \int_{0}^{13} (1400 + 400t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1400 + 400t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{13} - \int_{0}^{13} \left(-\frac{400}{0.08} \right)\mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1400 + 400t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{13} - \left[\frac{400}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{13} \\ & = -(1400 + 400 \cdot 13) \cdot \frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 13} + (1400 + \underbrace{400 \cdot 0}_{=0}) \cdot \frac{1}{0.08} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08\cdot 0}}_{=1} \\ & \phantom{==} - \frac{400}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 13} + \frac{400}{0.08^2} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08 \cdot 0}}_{=1} \\ & = 28749.07 \end{aligned}
Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom C wachse linear. Sie kennen die beiden Werte des Zahlungsstroms C(7) = 1900 und C(8) = 2000.
Aufgabe 1: Wie lautet die Formel für den Zahlungsstrom: C(t) = \cdot t +
Der Barwert B (auch Gegenwartswert oder Present Value genannt) des Zahlungsstroms über das Zeitintervall [0, T] hat den Wert
B(T) = \int_0^T C(t) \cdot \mathsf{e}^{-rt}\,\mathrm{d}t
wobei \mathsf{e}^{-rt} der (kontinuierliche) Abzinsfaktor ist. Der Parameter r > 0 ist der Zinssatz bzw. die Discountrate und beträgt r = 0.08.
Aufgabe 2: Mit dem obigen Zahlunsstrom ist B(T = 10)= .
Für den Zahlunsstrom ergibt sich: C(t) = 100 \cdot t + 1200
Um die Aufgabe zu lösen, muss das folgende Integral gelöst werden:
B(10) = \int_{0}^{10} (1200 + 100t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t. Um dieses Intergal zu lösen nutzt man die partielle Integration \int uv' = uv - \int u'v
\begin{aligned} u & = 1200 + 100t \\ u' & = 100 \\ v' & = \mathsf{e}^{-0.08t} \\ v & = -\frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t} \end{aligned} Einsetzen ergibt:
\begin{aligned} B(10) & = \int_{0}^{10} (1200 + 100t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1200 + 100t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{10} - \int_{0}^{10} \left(-\frac{100}{0.08} \right)\mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1200 + 100t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{10} - \left[\frac{100}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{10} \\ & = -(1200 + 100 \cdot 10) \cdot \frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 10} + (1200 + \underbrace{100 \cdot 0}_{=0}) \cdot \frac{1}{0.08} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08\cdot 0}}_{=1} \\ & \phantom{==} - \frac{100}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 10} + \frac{100}{0.08^2} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08 \cdot 0}}_{=1} \\ & = 11247.69 \end{aligned}
Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom C wachse linear. Sie kennen die beiden Werte des Zahlungsstroms C(3) = 1100 und C(7) = 1900.
Aufgabe 1: Wie lautet die Formel für den Zahlungsstrom: C(t) = \cdot t +
Der Barwert B (auch Gegenwartswert oder Present Value genannt) des Zahlungsstroms über das Zeitintervall [0, T] hat den Wert
B(T) = \int_0^T C(t) \cdot \mathsf{e}^{-rt}\,\mathrm{d}t
wobei \mathsf{e}^{-rt} der (kontinuierliche) Abzinsfaktor ist. Der Parameter r > 0 ist der Zinssatz bzw. die Discountrate und beträgt r = 0.08.
Aufgabe 2: Mit dem obigen Zahlunsstrom ist B(T = 11)= .
Für den Zahlunsstrom ergibt sich: C(t) = 200 \cdot t + 500
Um die Aufgabe zu lösen, muss das folgende Integral gelöst werden:
B(11) = \int_{0}^{11} (500 + 200t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t. Um dieses Intergal zu lösen nutzt man die partielle Integration \int uv' = uv - \int u'v
\begin{aligned} u & = 500 + 200t \\ u' & = 200 \\ v' & = \mathsf{e}^{-0.08t} \\ v & = -\frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t} \end{aligned} Einsetzen ergibt:
\begin{aligned} B(11) & = \int_{0}^{11} (500 + 200t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(500 + 200t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{11} - \int_{0}^{11} \left(-\frac{200}{0.08} \right)\mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(500 + 200t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{11} - \left[\frac{200}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{11} \\ & = -(500 + 200 \cdot 11) \cdot \frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 11} + (500 + \underbrace{200 \cdot 0}_{=0}) \cdot \frac{1}{0.08} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08\cdot 0}}_{=1} \\ & \phantom{==} - \frac{200}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 11} + \frac{200}{0.08^2} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08 \cdot 0}}_{=1} \\ & = 10539.11 \end{aligned}
Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom C wachse linear. Sie kennen die beiden Werte des Zahlungsstroms C(5) = 4500 und C(7) = 5700.
Aufgabe 1: Wie lautet die Formel für den Zahlungsstrom: C(t) = \cdot t +
Der Barwert B (auch Gegenwartswert oder Present Value genannt) des Zahlungsstroms über das Zeitintervall [0, T] hat den Wert
B(T) = \int_0^T C(t) \cdot \mathsf{e}^{-rt}\,\mathrm{d}t
wobei \mathsf{e}^{-rt} der (kontinuierliche) Abzinsfaktor ist. Der Parameter r > 0 ist der Zinssatz bzw. die Discountrate und beträgt r = 0.08.
Aufgabe 2: Mit dem obigen Zahlunsstrom ist B(T = 15)= .
Für den Zahlunsstrom ergibt sich: C(t) = 600 \cdot t + 1500
Um die Aufgabe zu lösen, muss das folgende Integral gelöst werden:
B(15) = \int_{0}^{15} (1500 + 600t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t. Um dieses Intergal zu lösen nutzt man die partielle Integration \int uv' = uv - \int u'v
\begin{aligned} u & = 1500 + 600t \\ u' & = 600 \\ v' & = \mathsf{e}^{-0.08t} \\ v & = -\frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t} \end{aligned} Einsetzen ergibt:
\begin{aligned} B(15) & = \int_{0}^{15} (1500 + 600t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1500 + 600t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{15} - \int_{0}^{15} \left(-\frac{600}{0.08} \right)\mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1500 + 600t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{15} - \left[\frac{600}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{15} \\ & = -(1500 + 600 \cdot 15) \cdot \frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 15} + (1500 + \underbrace{600 \cdot 0}_{=0}) \cdot \frac{1}{0.08} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08\cdot 0}}_{=1} \\ & \phantom{==} - \frac{600}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 15} + \frac{600}{0.08^2} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08 \cdot 0}}_{=1} \\ & = 44731.30 \end{aligned}
Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom C wachse linear. Sie kennen die beiden Werte des Zahlungsstroms C(6) = 3200 und C(7) = 3600.
Aufgabe 1: Wie lautet die Formel für den Zahlungsstrom: C(t) = \cdot t +
Der Barwert B (auch Gegenwartswert oder Present Value genannt) des Zahlungsstroms über das Zeitintervall [0, T] hat den Wert
B(T) = \int_0^T C(t) \cdot \mathsf{e}^{-rt}\,\mathrm{d}t
wobei \mathsf{e}^{-rt} der (kontinuierliche) Abzinsfaktor ist. Der Parameter r > 0 ist der Zinssatz bzw. die Discountrate und beträgt r = 0.08.
Aufgabe 2: Mit dem obigen Zahlunsstrom ist B(T = 14)= .
Für den Zahlunsstrom ergibt sich: C(t) = 400 \cdot t + 800
Um die Aufgabe zu lösen, muss das folgende Integral gelöst werden:
B(14) = \int_{0}^{14} (800 + 400t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t. Um dieses Intergal zu lösen nutzt man die partielle Integration \int uv' = uv - \int u'v
\begin{aligned} u & = 800 + 400t \\ u' & = 400 \\ v' & = \mathsf{e}^{-0.08t} \\ v & = -\frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t} \end{aligned} Einsetzen ergibt:
\begin{aligned} B(14) & = \int_{0}^{14} (800 + 400t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(800 + 400t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{14} - \int_{0}^{14} \left(-\frac{400}{0.08} \right)\mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(800 + 400t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{14} - \left[\frac{400}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{14} \\ & = -(800 + 400 \cdot 14) \cdot \frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 14} + (800 + \underbrace{400 \cdot 0}_{=0}) \cdot \frac{1}{0.08} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08\cdot 0}}_{=1} \\ & \phantom{==} - \frac{400}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 14} + \frac{400}{0.08^2} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08 \cdot 0}}_{=1} \\ & = 26005.13 \end{aligned}
Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom C wachse linear. Sie kennen die beiden Werte des Zahlungsstroms C(4) = 1800 und C(5) = 2000.
Aufgabe 1: Wie lautet die Formel für den Zahlungsstrom: C(t) = \cdot t +
Der Barwert B (auch Gegenwartswert oder Present Value genannt) des Zahlungsstroms über das Zeitintervall [0, T] hat den Wert
B(T) = \int_0^T C(t) \cdot \mathsf{e}^{-rt}\,\mathrm{d}t
wobei \mathsf{e}^{-rt} der (kontinuierliche) Abzinsfaktor ist. Der Parameter r > 0 ist der Zinssatz bzw. die Discountrate und beträgt r = 0.08.
Aufgabe 2: Mit dem obigen Zahlunsstrom ist B(T = 15)= .
Für den Zahlunsstrom ergibt sich: C(t) = 200 \cdot t + 1000
Um die Aufgabe zu lösen, muss das folgende Integral gelöst werden:
B(15) = \int_{0}^{15} (1000 + 200t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t. Um dieses Intergal zu lösen nutzt man die partielle Integration \int uv' = uv - \int u'v
\begin{aligned} u & = 1000 + 200t \\ u' & = 200 \\ v' & = \mathsf{e}^{-0.08t} \\ v & = -\frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t} \end{aligned} Einsetzen ergibt:
\begin{aligned} B(15) & = \int_{0}^{15} (1000 + 200t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1000 + 200t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{15} - \int_{0}^{15} \left(-\frac{200}{0.08} \right)\mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1000 + 200t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{15} - \left[\frac{200}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{15} \\ & = -(1000 + 200 \cdot 15) \cdot \frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 15} + (1000 + \underbrace{200 \cdot 0}_{=0}) \cdot \frac{1}{0.08} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08\cdot 0}}_{=1} \\ & \phantom{==} - \frac{200}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 15} + \frac{200}{0.08^2} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08 \cdot 0}}_{=1} \\ & = 19277.97 \end{aligned}
Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom C wachse linear. Sie kennen die beiden Werte des Zahlungsstroms C(5) = 1900 und C(8) = 2200.
Aufgabe 1: Wie lautet die Formel für den Zahlungsstrom: C(t) = \cdot t +
Der Barwert B (auch Gegenwartswert oder Present Value genannt) des Zahlungsstroms über das Zeitintervall [0, T] hat den Wert
B(T) = \int_0^T C(t) \cdot \mathsf{e}^{-rt}\,\mathrm{d}t
wobei \mathsf{e}^{-rt} der (kontinuierliche) Abzinsfaktor ist. Der Parameter r > 0 ist der Zinssatz bzw. die Discountrate und beträgt r = 0.08.
Aufgabe 2: Mit dem obigen Zahlunsstrom ist B(T = 13)= .
Für den Zahlunsstrom ergibt sich: C(t) = 100 \cdot t + 1400
Um die Aufgabe zu lösen, muss das folgende Integral gelöst werden:
B(13) = \int_{0}^{13} (1400 + 100t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t. Um dieses Intergal zu lösen nutzt man die partielle Integration \int uv' = uv - \int u'v
\begin{aligned} u & = 1400 + 100t \\ u' & = 100 \\ v' & = \mathsf{e}^{-0.08t} \\ v & = -\frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t} \end{aligned} Einsetzen ergibt:
\begin{aligned} B(13) & = \int_{0}^{13} (1400 + 100t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1400 + 100t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{13} - \int_{0}^{13} \left(-\frac{100}{0.08} \right)\mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1400 + 100t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{13} - \left[\frac{100}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{13} \\ & = -(1400 + 100 \cdot 13) \cdot \frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 13} + (1400 + \underbrace{100 \cdot 0}_{=0}) \cdot \frac{1}{0.08} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08\cdot 0}}_{=1} \\ & \phantom{==} - \frac{100}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 13} + \frac{100}{0.08^2} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08 \cdot 0}}_{=1} \\ & = 15673.18 \end{aligned}
Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom C wachse linear. Sie kennen die beiden Werte des Zahlungsstroms C(4) = 2500 und C(8) = 4100.
Aufgabe 1: Wie lautet die Formel für den Zahlungsstrom: C(t) = \cdot t +
Der Barwert B (auch Gegenwartswert oder Present Value genannt) des Zahlungsstroms über das Zeitintervall [0, T] hat den Wert
B(T) = \int_0^T C(t) \cdot \mathsf{e}^{-rt}\,\mathrm{d}t
wobei \mathsf{e}^{-rt} der (kontinuierliche) Abzinsfaktor ist. Der Parameter r > 0 ist der Zinssatz bzw. die Discountrate und beträgt r = 0.08.
Aufgabe 2: Mit dem obigen Zahlunsstrom ist B(T = 13)= .
Für den Zahlunsstrom ergibt sich: C(t) = 400 \cdot t + 900
Um die Aufgabe zu lösen, muss das folgende Integral gelöst werden:
B(13) = \int_{0}^{13} (900 + 400t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t. Um dieses Intergal zu lösen nutzt man die partielle Integration \int uv' = uv - \int u'v
\begin{aligned} u & = 900 + 400t \\ u' & = 400 \\ v' & = \mathsf{e}^{-0.08t} \\ v & = -\frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t} \end{aligned} Einsetzen ergibt:
\begin{aligned} B(13) & = \int_{0}^{13} (900 + 400t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(900 + 400t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{13} - \int_{0}^{13} \left(-\frac{400}{0.08} \right)\mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(900 + 400t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{13} - \left[\frac{400}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{13} \\ & = -(900 + 400 \cdot 13) \cdot \frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 13} + (900 + \underbrace{400 \cdot 0}_{=0}) \cdot \frac{1}{0.08} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08\cdot 0}}_{=1} \\ & \phantom{==} - \frac{400}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 13} + \frac{400}{0.08^2} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08 \cdot 0}}_{=1} \\ & = 24708.16 \end{aligned}
Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom C wachse linear. Sie kennen die beiden Werte des Zahlungsstroms C(5) = 2800 und C(6) = 3200.
Aufgabe 1: Wie lautet die Formel für den Zahlungsstrom: C(t) = \cdot t +
Der Barwert B (auch Gegenwartswert oder Present Value genannt) des Zahlungsstroms über das Zeitintervall [0, T] hat den Wert
B(T) = \int_0^T C(t) \cdot \mathsf{e}^{-rt}\,\mathrm{d}t
wobei \mathsf{e}^{-rt} der (kontinuierliche) Abzinsfaktor ist. Der Parameter r > 0 ist der Zinssatz bzw. die Discountrate und beträgt r = 0.08.
Aufgabe 2: Mit dem obigen Zahlunsstrom ist B(T = 6)= .
Für den Zahlunsstrom ergibt sich: C(t) = 400 \cdot t + 800
Um die Aufgabe zu lösen, muss das folgende Integral gelöst werden:
B(6) = \int_{0}^{6} (800 + 400t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t. Um dieses Intergal zu lösen nutzt man die partielle Integration \int uv' = uv - \int u'v
\begin{aligned} u & = 800 + 400t \\ u' & = 400 \\ v' & = \mathsf{e}^{-0.08t} \\ v & = -\frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t} \end{aligned} Einsetzen ergibt:
\begin{aligned} B(6) & = \int_{0}^{6} (800 + 400t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(800 + 400t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{6} - \int_{0}^{6} \left(-\frac{400}{0.08} \right)\mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(800 + 400t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{6} - \left[\frac{400}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{6} \\ & = -(800 + 400 \cdot 6) \cdot \frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 6} + (800 + \underbrace{400 \cdot 0}_{=0}) \cdot \frac{1}{0.08} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08\cdot 0}}_{=1} \\ & \phantom{==} - \frac{400}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 6} + \frac{400}{0.08^2} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08 \cdot 0}}_{=1} \\ & = 9074.70 \end{aligned}
Ein kontinuierlicher Zahlungsstrom C wachse linear. Sie kennen die beiden Werte des Zahlungsstroms C(6) = 1600 und C(7) = 1700.
Aufgabe 1: Wie lautet die Formel für den Zahlungsstrom: C(t) = \cdot t +
Der Barwert B (auch Gegenwartswert oder Present Value genannt) des Zahlungsstroms über das Zeitintervall [0, T] hat den Wert
B(T) = \int_0^T C(t) \cdot \mathsf{e}^{-rt}\,\mathrm{d}t
wobei \mathsf{e}^{-rt} der (kontinuierliche) Abzinsfaktor ist. Der Parameter r > 0 ist der Zinssatz bzw. die Discountrate und beträgt r = 0.08.
Aufgabe 2: Mit dem obigen Zahlunsstrom ist B(T = 9)= .
Für den Zahlunsstrom ergibt sich: C(t) = 100 \cdot t + 1000
Um die Aufgabe zu lösen, muss das folgende Integral gelöst werden:
B(9) = \int_{0}^{9} (1000 + 100t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t. Um dieses Intergal zu lösen nutzt man die partielle Integration \int uv' = uv - \int u'v
\begin{aligned} u & = 1000 + 100t \\ u' & = 100 \\ v' & = \mathsf{e}^{-0.08t} \\ v & = -\frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t} \end{aligned} Einsetzen ergibt:
\begin{aligned} B(9) & = \int_{0}^{9} (1000 + 100t)\cdot \mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1000 + 100t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{9} - \int_{0}^{9} \left(-\frac{100}{0.08} \right)\mathsf{e}^{-0.08t}\,\mathrm{d}t \\ & = \left[(1000 + 100t) \cdot \frac{-1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{9} - \left[\frac{100}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08t}\right]_{0}^{9} \\ & = -(1000 + 100 \cdot 9) \cdot \frac{1}{0.08} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 9} + (1000 + \underbrace{100 \cdot 0}_{=0}) \cdot \frac{1}{0.08} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08\cdot 0}}_{=1} \\ & \phantom{==} - \frac{100}{0.08^2} \mathsf{e}^{-0.08 \cdot 9} + \frac{100}{0.08^2} \underbrace{\mathsf{e}^{-0.08 \cdot 0}}_{=1} \\ & = 8959.13 \end{aligned}
22.4.2 Substitution
Die Substitution ist die Umkehrung der Kettenregel, die aus der Differentialrechnung bekannt ist. Leitet man eine verkettete Funktion F \circ \varphi: I \to \mathbb{R} mit x \mapsto (F \circ \varphi)(x) = F(\varphi(x)) nach x ab, so erhält man \varphi'(x) \cdot F'(\varphi(x)) = \varphi'(x) \cdot f(\varphi(x)). Aus diesem Grund schauen wir uns Integrale der folgenden Form an:
\int \varphi'(x) f(\varphi(x)) \, \mathrm{d}x.
Wir sehen, dass wir eine verkettete Funktion hinter dem Integralzeichen stehen haben und – das ist der zweite wichtige Teil – die Ableitung der inneren Funktion (oder auch ein Vielfaches davon) außerhalb der verketteten Funktion steht.
Beispiele
Integrale, die von der obigen Form sind und mit Hilfe der Substitution gelöst werden können, sind zum Beispiel:
\begin{aligned} \int 4 \mathsf{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x. \end{aligned}
\begin{aligned} \int x^3 \sqrt{1+x^4} \,\mathrm{d}x. \end{aligned}
\begin{aligned} \int x \cdot \mathsf{e}^{ax^2} \,\mathrm{d}x. \end{aligned}
Vorgehensweise
Was machen wir nun, um eine derartige Aufgabe zu lösen?
- Der erste Schritt besteht darin, den richtigen Term zu substituieren, das heißt, eine neue Variable einzuführen. Da der Integrand von der Form \varphi'(x)\cdot f(\varphi(x)) ist, lautet die Substitution y = \varphi(x). Eine einfache Ersetzung der Variablen reicht noch nicht aus, da das ursprüngliche Integral bezüglich x und nicht y integriert wird. Wir benötigen also noch ein Differential \mathrm{d}y, das wir aus der Ableitung von y bezüglich x erhalten:
\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi'(x) \quad \text{oder} \quad \mathrm{d}x = \frac{1}{\varphi'(x)} \,\mathrm{d}y. \end{aligned}
Setzen wir beides in das ursprüngliche Integral ein, erhalten wir
\begin{aligned} \int \varphi'(x) f(\varphi(x)) \, \mathrm{d}x & = \int \varphi'(x) f(y) \frac{1}{\varphi'(x)} \, \mathrm{d}y \\ & = \int f(y) \, \mathrm{d}y \\ & = F(y) + C \\ & = F(\varphi(x)) + C \end{aligned} Somit heben sich die Terme, die außerhalb der Funktion f stehen, weg, und übrig bleibt die Aufgabe, die äußere Funktion f mit dem Funktionsterm f(y) bezüglich der neuen Variablen y zu integrieren.
Nach der Integration müssen wir die Variablen resubstituieren. Das heißt, wir setzen für y wieder \varphi(x) ein.
Für bestimmte Integrale, die mit Hilfe der Substitution gelöst werden können, gibt es zwei Möglichkeiten, das Ergebnis zu erhalten: Entweder bestimmen wir die Stammfunktion und setzen die ursprünglichen Grenzen in das Ergebnis ein, oder wir transformieren die Grenzen mit Hilfe der Substitution:
\begin{aligned} \int_a^b \varphi'(x) f(\varphi(x)) \, \mathrm{d}x & = \int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(y) \, \mathrm{d}y \\ & = \left[F(y)\right]_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} \\ & = F(\varphi(b)) - F(\varphi(a)) \end{aligned}
Beispiel 1
Ein sehr einfaches Beispiel ist das folgende:
\begin{aligned} \int 4 \mathsf{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x = 4 \int \mathsf{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x . \end{aligned}
Die verkettete Funktion ist \mathsf{e}^{-2x}, wobei y = -2x die innere Funktion ist. Damit ergibt sich
\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \varphi'(x) = -2 \quad \text{oder} \quad \mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \, \mathrm{d}y. \end{aligned}
\begin{aligned} 4 \int \mathsf{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x & = 4 \int \mathsf{e}^{y}\cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \,\mathrm{d}y \\ & = -2 \int \mathsf{e}^{y}\,\mathrm{d}y \\ & = -2 \mathsf{e}^{y} + C \\ & = -2 \mathsf{e}^{-2x} + C. \end{aligned}
Beispiel 2
Das zweite Beispiel ist nun schon ein wenig anspruchsvoller.
\begin{aligned} \int_0^2 x^2 \sqrt{1+x^3} \,\mathrm{d}x. \end{aligned}
Was wir noch recht leicht erkennen können, ist, dass \sqrt{1+x^3} eine Verkettung ist und dass x^2 bis auf eine multiplikative Konstante die Ableitung von x^3 ist. Die Aufgabe ist etwas schwieriger als das erste Beispiel, weil das Substituieren nicht mehr eindeutig ist: Wir könnten y = x^3 oder y = 1+x^3 nehmen (die 1 verschwindet nach dem Ableiten). Besser ist die zweite Variante, da wir nach der Substitution keine Summe unter der Wurzel stehen haben.
\begin{aligned} y = \varphi(x) = 1 + x^3 \quad \implies \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 3x^2 \quad \implies \quad \mathrm{d}x = \frac{1}{3x^2}\, \mathrm{d}y \end{aligned} Um das Integral direkt lösen zu können, transformieren wir die Grenzen: \varphi(0) = 1 und \varphi(2) = 9, wodurch sich das folgende Integral ergibt:
\begin{aligned} \int_0^2 x^2 \sqrt{1+x^3} \,\mathrm{d}x & = \int_1^9 x^2 \sqrt{y} \frac{1}{3x^2}\,\mathrm{d}y \\ & = \frac{1}{3} \int_1^9 \sqrt{y}\,\mathrm{d}y \\ & = \frac{1}{3} \int_1^9 y^{\frac{1}{2}} \,\mathrm{d}y \\ & = \frac{1}{3} \left[\frac{1}{\frac{1}{2} + 1} y^{\frac{1}{2} + 1}\right]_1^9 \\ & = \frac{2}{9} \left[y^{\frac{3}{2}}\right]_1^9 \\ & = \frac{2}{9} (27 - 1) \\ & = \frac{52}{9} \end{aligned}
Was können wir aus dem obigen Beispiel noch mitnehmen?
- Damit die Integration übersichtlicher wird, haben wir die multiplikative Konstante \frac{1}{3} vor das Integral gezogen.
- Um Wurzeln zu integrieren schreiben wir diese in der Potenzform.
Beispiel 3
Ein weiteres wichtiges Beispiel für die Substitution ist das Beispiel f(x) = x \mathsf{e}^{ax^2}. Wir substituieren den Exponenten der Exponentialfunktion, da dessen Ableitung proportional zu dem x vor der Exponentialfunktion ist. Es ergibt sich damit:
\begin{aligned} y = ax^2 \quad \implies \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = 2ax \quad \implies \quad \mathrm{d}x = \frac{1}{2ax}\mathrm{d}y \end{aligned}
Damit ergibt sich für das Integral:
\begin{aligned} \int x \mathsf{e}^{ax^2} \, \mathrm{d}x & = \int \frac{1}{2ax} x \mathsf{e}^y \,\mathrm{d}y \\ & = \frac{1}{2a} \int \mathsf{e}^y \,\mathrm{d}y \\ & = \frac{1}{2a} \mathsf{e}^y + C \\ & = \frac{1}{2a} \mathsf{e}^{ax^2} + C. \\ \end{aligned}
Zum Abschluss des Kapitels zur Substitution wollen wir noch zwei Beispiele behandeln, bei denen wir nicht sofort erkennen, dass die Substitution das Mittel der Wahl ist.
Beispiel 4
Wir bestimmen die Stammfunktion zu
\begin{aligned} \int \tan(x) \,\mathrm{d}x. \end{aligned}
Um das Problem anzugehen, schreiben wir die Tangensfunktion um. Mit der Substitution
\begin{aligned} y = \cos(x) \quad \implies \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\sin(x) \quad \implies \quad \mathrm{d}x = -\frac{1}{\sin(x)}\mathrm{d}y \end{aligned}
ergibt sich
\begin{aligned} \int \tan(x) \, \mathrm{d}x & = \int \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \, \mathrm{d}x \\ & = \int \frac{\sin(x)}{y} \cdot \frac{-1}{\sin(x)} \mathrm{d}y \\ & = \int \frac{-1}{y} \mathrm{d}y \\ & = - \ln(|y|) + C \\ & = - \ln(|\cos(x)|) + C. \\ \end{aligned}
Das letzte Beispiel ist ähnlich, allerdings noch ein wenig seltsamer, da wir einen Term substituieren, der selbst nicht im ursprünglichen Ausdruck vorkommt.
Beispiel 5
Wir wollen folgendes Integral bestimmen:
\begin{aligned} \int \sin^3(x) \,\mathrm{d}x. \end{aligned}
Die vielleicht überraschende Substitution ist:
\begin{aligned} y = \cos(x) \quad \implies \quad \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = -\sin(x) \quad \implies \quad \mathrm{d}x = -\frac{1}{\sin(x)}\,\mathrm{d}y \end{aligned}
Wir nutzen den trigonometrischen Pythagoras \sin^2(x) + \cos^2(x) = 1 bzw. \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) und schreiben \sin^3(x) = \sin(x)(1-\cos^2(x)) und ersetzen das \mathrm{d}x. Damit ergibt sich
\begin{aligned} \int \sin^3(x) \, \mathrm{d}x & = \int \sin(x)(1-\cos^2(x)) \, \mathrm{d}x \\ & = \int \sin(x)(1-y^2) \cdot \frac{-1}{\sin(x)} \mathrm{d}y \\ & = \int (y^2 - 1) \, \mathrm{d}y \\ & = \frac{1}{3} y^3 - y + C \\ & = \frac{1}{3}\cos^3(x) - \cos(x) + C. \end{aligned}
22.5 Weitere Aufgaben
Ein Auto fährt ab dem Zeitpunkt t = 0 mit einer Geschwindigkeit
v(t) = 2.94 \cdot (4 t - t^2)
bis es wieder zum Stillstand kommt.
Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? t_{\text{max}} =
Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht das Auto? v_{\text{max}} =
Welche Strecke legt das Auto während der gesamten Zeit zurück? s(t_{\text{max}}) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der Fahrt? \overline{v}=
Der Funktionsgraph der Geschwindigkeit v(t) sieht wie folgt aus:
Der obige Term lässt sich Faktorisieren, so dass man beide Nullstellen erhält:
v(t) = 2.94 \cdot (4 t - t^2) = 2.94 \cdot t \cdot (4 - t) damit sind t=0 und t = 4 = t_{\text{max}} die beiden Nullstellen. Bei der zweiten Nullstelle kommt das Auto wieder zum Stillstand.
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 2 maximal. Um nun v_{\text{max}} zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} v_{\text{max}} & = 2.94 \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = 2.94 \cdot 2 \cdot (4 - 2) \\ & = 11.76 \end{aligned}
Die zurückgelegte Strecke ist eine Integration der Geschwindigkeit v über die Zeit t:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) & = \int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^{4} 11.76 \cdot t - 2.94 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = \underbrace{5.88 \cdot 4^2 - 0.98 \cdot 4^3}_{\text{obere Grenze}} - \underbrace{(0 - 0)}_{\text{untere Grenze}} \\ & = 31.36 \end{aligned}
Grafisch kann man die zurückgelegte Strecke als den Flächeinhalt interpretieren, den die Parabel mit der t-Achse einschließt. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 7.84
Hier noch einmal alle Antworten mit den zugehörigen physikalischen Einheiten:
- t_{\text{max}} = 4 in [s]
- v_{\text{max}} = 11.76 in [m/s]
- s(t_{\text{max}}) - s(0) = s(4) = 31.36 in [m]
- \overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 7.84 in [m/s]
Ein Auto fährt ab dem Zeitpunkt t = 0 mit einer Geschwindigkeit
v(t) = 6.66 \cdot (4 t - t^2)
bis es wieder zum Stillstand kommt.
Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? t_{\text{max}} =
Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht das Auto? v_{\text{max}} =
Welche Strecke legt das Auto während der gesamten Zeit zurück? s(t_{\text{max}}) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der Fahrt? \overline{v}=
Der Funktionsgraph der Geschwindigkeit v(t) sieht wie folgt aus:
Der obige Term lässt sich Faktorisieren, so dass man beide Nullstellen erhält:
v(t) = 6.66 \cdot (4 t - t^2) = 6.66 \cdot t \cdot (4 - t) damit sind t=0 und t = 4 = t_{\text{max}} die beiden Nullstellen. Bei der zweiten Nullstelle kommt das Auto wieder zum Stillstand.
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 2 maximal. Um nun v_{\text{max}} zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} v_{\text{max}} & = 6.66 \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = 6.66 \cdot 2 \cdot (4 - 2) \\ & = 26.64 \end{aligned}
Die zurückgelegte Strecke ist eine Integration der Geschwindigkeit v über die Zeit t:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) & = \int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^{4} 26.64 \cdot t - 6.66 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = \underbrace{13.32 \cdot 4^2 - 2.22 \cdot 4^3}_{\text{obere Grenze}} - \underbrace{(0 - 0)}_{\text{untere Grenze}} \\ & = 71.04 \end{aligned}
Grafisch kann man die zurückgelegte Strecke als den Flächeinhalt interpretieren, den die Parabel mit der t-Achse einschließt. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 17.76
Hier noch einmal alle Antworten mit den zugehörigen physikalischen Einheiten:
- t_{\text{max}} = 4 in [s]
- v_{\text{max}} = 26.64 in [m/s]
- s(t_{\text{max}}) - s(0) = s(4) = 71.04 in [m]
- \overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 17.76 in [m/s]
Ein Auto fährt ab dem Zeitpunkt t = 0 mit einer Geschwindigkeit
v(t) = 2.94 \cdot (4 t - t^2)
bis es wieder zum Stillstand kommt.
Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? t_{\text{max}} =
Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht das Auto? v_{\text{max}} =
Welche Strecke legt das Auto während der gesamten Zeit zurück? s(t_{\text{max}}) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der Fahrt? \overline{v}=
Der Funktionsgraph der Geschwindigkeit v(t) sieht wie folgt aus:
Der obige Term lässt sich Faktorisieren, so dass man beide Nullstellen erhält:
v(t) = 2.94 \cdot (4 t - t^2) = 2.94 \cdot t \cdot (4 - t) damit sind t=0 und t = 4 = t_{\text{max}} die beiden Nullstellen. Bei der zweiten Nullstelle kommt das Auto wieder zum Stillstand.
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 2 maximal. Um nun v_{\text{max}} zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} v_{\text{max}} & = 2.94 \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = 2.94 \cdot 2 \cdot (4 - 2) \\ & = 11.76 \end{aligned}
Die zurückgelegte Strecke ist eine Integration der Geschwindigkeit v über die Zeit t:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) & = \int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^{4} 11.76 \cdot t - 2.94 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = \underbrace{5.88 \cdot 4^2 - 0.98 \cdot 4^3}_{\text{obere Grenze}} - \underbrace{(0 - 0)}_{\text{untere Grenze}} \\ & = 31.36 \end{aligned}
Grafisch kann man die zurückgelegte Strecke als den Flächeinhalt interpretieren, den die Parabel mit der t-Achse einschließt. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 7.84
Hier noch einmal alle Antworten mit den zugehörigen physikalischen Einheiten:
- t_{\text{max}} = 4 in [s]
- v_{\text{max}} = 11.76 in [m/s]
- s(t_{\text{max}}) - s(0) = s(4) = 31.36 in [m]
- \overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 7.84 in [m/s]
Ein Auto fährt ab dem Zeitpunkt t = 0 mit einer Geschwindigkeit
v(t) = 1.74 \cdot (8 t - t^2)
bis es wieder zum Stillstand kommt.
Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? t_{\text{max}} =
Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht das Auto? v_{\text{max}} =
Welche Strecke legt das Auto während der gesamten Zeit zurück? s(t_{\text{max}}) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der Fahrt? \overline{v}=
Der Funktionsgraph der Geschwindigkeit v(t) sieht wie folgt aus:
Der obige Term lässt sich Faktorisieren, so dass man beide Nullstellen erhält:
v(t) = 1.74 \cdot (8 t - t^2) = 1.74 \cdot t \cdot (8 - t) damit sind t=0 und t = 8 = t_{\text{max}} die beiden Nullstellen. Bei der zweiten Nullstelle kommt das Auto wieder zum Stillstand.
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 4 maximal. Um nun v_{\text{max}} zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} v_{\text{max}} & = 1.74 \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = 1.74 \cdot 4 \cdot (8 - 4) \\ & = 27.84 \end{aligned}
Die zurückgelegte Strecke ist eine Integration der Geschwindigkeit v über die Zeit t:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) & = \int_{0}^{8} v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^{8} 13.92 \cdot t - 1.74 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = \underbrace{6.96 \cdot 8^2 - 0.58 \cdot 8^3}_{\text{obere Grenze}} - \underbrace{(0 - 0)}_{\text{untere Grenze}} \\ & = 148.48 \end{aligned}
Grafisch kann man die zurückgelegte Strecke als den Flächeinhalt interpretieren, den die Parabel mit der t-Achse einschließt. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(8)}{8} = 18.56
Hier noch einmal alle Antworten mit den zugehörigen physikalischen Einheiten:
- t_{\text{max}} = 8 in [s]
- v_{\text{max}} = 27.84 in [m/s]
- s(t_{\text{max}}) - s(0) = s(8) = 148.48 in [m]
- \overline{v} = \frac{s(8)}{8} = 18.56 in [m/s]
Ein Auto fährt ab dem Zeitpunkt t = 0 mit einer Geschwindigkeit
v(t) = 7.02 \cdot (4 t - t^2)
bis es wieder zum Stillstand kommt.
Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? t_{\text{max}} =
Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht das Auto? v_{\text{max}} =
Welche Strecke legt das Auto während der gesamten Zeit zurück? s(t_{\text{max}}) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der Fahrt? \overline{v}=
Der Funktionsgraph der Geschwindigkeit v(t) sieht wie folgt aus:
Der obige Term lässt sich Faktorisieren, so dass man beide Nullstellen erhält:
v(t) = 7.02 \cdot (4 t - t^2) = 7.02 \cdot t \cdot (4 - t) damit sind t=0 und t = 4 = t_{\text{max}} die beiden Nullstellen. Bei der zweiten Nullstelle kommt das Auto wieder zum Stillstand.
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 2 maximal. Um nun v_{\text{max}} zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} v_{\text{max}} & = 7.02 \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = 7.02 \cdot 2 \cdot (4 - 2) \\ & = 28.08 \end{aligned}
Die zurückgelegte Strecke ist eine Integration der Geschwindigkeit v über die Zeit t:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) & = \int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^{4} 28.08 \cdot t - 7.02 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = \underbrace{14.04 \cdot 4^2 - 2.34 \cdot 4^3}_{\text{obere Grenze}} - \underbrace{(0 - 0)}_{\text{untere Grenze}} \\ & = 74.88 \end{aligned}
Grafisch kann man die zurückgelegte Strecke als den Flächeinhalt interpretieren, den die Parabel mit der t-Achse einschließt. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 18.72
Hier noch einmal alle Antworten mit den zugehörigen physikalischen Einheiten:
- t_{\text{max}} = 4 in [s]
- v_{\text{max}} = 28.08 in [m/s]
- s(t_{\text{max}}) - s(0) = s(4) = 74.88 in [m]
- \overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 18.72 in [m/s]
Ein Auto fährt ab dem Zeitpunkt t = 0 mit einer Geschwindigkeit
v(t) = 5.7 \cdot (4 t - t^2)
bis es wieder zum Stillstand kommt.
Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? t_{\text{max}} =
Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht das Auto? v_{\text{max}} =
Welche Strecke legt das Auto während der gesamten Zeit zurück? s(t_{\text{max}}) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der Fahrt? \overline{v}=
Der Funktionsgraph der Geschwindigkeit v(t) sieht wie folgt aus:
Der obige Term lässt sich Faktorisieren, so dass man beide Nullstellen erhält:
v(t) = 5.7 \cdot (4 t - t^2) = 5.7 \cdot t \cdot (4 - t) damit sind t=0 und t = 4 = t_{\text{max}} die beiden Nullstellen. Bei der zweiten Nullstelle kommt das Auto wieder zum Stillstand.
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 2 maximal. Um nun v_{\text{max}} zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} v_{\text{max}} & = 5.7 \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = 5.7 \cdot 2 \cdot (4 - 2) \\ & = 22.8 \end{aligned}
Die zurückgelegte Strecke ist eine Integration der Geschwindigkeit v über die Zeit t:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) & = \int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^{4} 22.8 \cdot t - 5.7 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = \underbrace{11.4 \cdot 4^2 - 1.9 \cdot 4^3}_{\text{obere Grenze}} - \underbrace{(0 - 0)}_{\text{untere Grenze}} \\ & = 60.8 \end{aligned}
Grafisch kann man die zurückgelegte Strecke als den Flächeinhalt interpretieren, den die Parabel mit der t-Achse einschließt. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 15.2
Hier noch einmal alle Antworten mit den zugehörigen physikalischen Einheiten:
- t_{\text{max}} = 4 in [s]
- v_{\text{max}} = 22.8 in [m/s]
- s(t_{\text{max}}) - s(0) = s(4) = 60.8 in [m]
- \overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 15.2 in [m/s]
Ein Auto fährt ab dem Zeitpunkt t = 0 mit einer Geschwindigkeit
v(t) = 3.18 \cdot (4 t - t^2)
bis es wieder zum Stillstand kommt.
Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? t_{\text{max}} =
Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht das Auto? v_{\text{max}} =
Welche Strecke legt das Auto während der gesamten Zeit zurück? s(t_{\text{max}}) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der Fahrt? \overline{v}=
Der Funktionsgraph der Geschwindigkeit v(t) sieht wie folgt aus:
Der obige Term lässt sich Faktorisieren, so dass man beide Nullstellen erhält:
v(t) = 3.18 \cdot (4 t - t^2) = 3.18 \cdot t \cdot (4 - t) damit sind t=0 und t = 4 = t_{\text{max}} die beiden Nullstellen. Bei der zweiten Nullstelle kommt das Auto wieder zum Stillstand.
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 2 maximal. Um nun v_{\text{max}} zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} v_{\text{max}} & = 3.18 \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = 3.18 \cdot 2 \cdot (4 - 2) \\ & = 12.72 \end{aligned}
Die zurückgelegte Strecke ist eine Integration der Geschwindigkeit v über die Zeit t:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) & = \int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^{4} 12.72 \cdot t - 3.18 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = \underbrace{6.36 \cdot 4^2 - 1.06 \cdot 4^3}_{\text{obere Grenze}} - \underbrace{(0 - 0)}_{\text{untere Grenze}} \\ & = 33.92 \end{aligned}
Grafisch kann man die zurückgelegte Strecke als den Flächeinhalt interpretieren, den die Parabel mit der t-Achse einschließt. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 8.48
Hier noch einmal alle Antworten mit den zugehörigen physikalischen Einheiten:
- t_{\text{max}} = 4 in [s]
- v_{\text{max}} = 12.72 in [m/s]
- s(t_{\text{max}}) - s(0) = s(4) = 33.92 in [m]
- \overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 8.48 in [m/s]
Ein Auto fährt ab dem Zeitpunkt t = 0 mit einer Geschwindigkeit
v(t) = 3.18 \cdot (4 t - t^2)
bis es wieder zum Stillstand kommt.
Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? t_{\text{max}} =
Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht das Auto? v_{\text{max}} =
Welche Strecke legt das Auto während der gesamten Zeit zurück? s(t_{\text{max}}) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der Fahrt? \overline{v}=
Der Funktionsgraph der Geschwindigkeit v(t) sieht wie folgt aus:
Der obige Term lässt sich Faktorisieren, so dass man beide Nullstellen erhält:
v(t) = 3.18 \cdot (4 t - t^2) = 3.18 \cdot t \cdot (4 - t) damit sind t=0 und t = 4 = t_{\text{max}} die beiden Nullstellen. Bei der zweiten Nullstelle kommt das Auto wieder zum Stillstand.
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 2 maximal. Um nun v_{\text{max}} zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} v_{\text{max}} & = 3.18 \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = 3.18 \cdot 2 \cdot (4 - 2) \\ & = 12.72 \end{aligned}
Die zurückgelegte Strecke ist eine Integration der Geschwindigkeit v über die Zeit t:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) & = \int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^{4} 12.72 \cdot t - 3.18 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = \underbrace{6.36 \cdot 4^2 - 1.06 \cdot 4^3}_{\text{obere Grenze}} - \underbrace{(0 - 0)}_{\text{untere Grenze}} \\ & = 33.92 \end{aligned}
Grafisch kann man die zurückgelegte Strecke als den Flächeinhalt interpretieren, den die Parabel mit der t-Achse einschließt. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 8.48
Hier noch einmal alle Antworten mit den zugehörigen physikalischen Einheiten:
- t_{\text{max}} = 4 in [s]
- v_{\text{max}} = 12.72 in [m/s]
- s(t_{\text{max}}) - s(0) = s(4) = 33.92 in [m]
- \overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 8.48 in [m/s]
Ein Auto fährt ab dem Zeitpunkt t = 0 mit einer Geschwindigkeit
v(t) = 5.64 \cdot (4 t - t^2)
bis es wieder zum Stillstand kommt.
Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? t_{\text{max}} =
Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht das Auto? v_{\text{max}} =
Welche Strecke legt das Auto während der gesamten Zeit zurück? s(t_{\text{max}}) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der Fahrt? \overline{v}=
Der Funktionsgraph der Geschwindigkeit v(t) sieht wie folgt aus:
Der obige Term lässt sich Faktorisieren, so dass man beide Nullstellen erhält:
v(t) = 5.64 \cdot (4 t - t^2) = 5.64 \cdot t \cdot (4 - t) damit sind t=0 und t = 4 = t_{\text{max}} die beiden Nullstellen. Bei der zweiten Nullstelle kommt das Auto wieder zum Stillstand.
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 2 maximal. Um nun v_{\text{max}} zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} v_{\text{max}} & = 5.64 \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = 5.64 \cdot 2 \cdot (4 - 2) \\ & = 22.56 \end{aligned}
Die zurückgelegte Strecke ist eine Integration der Geschwindigkeit v über die Zeit t:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) & = \int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^{4} 22.56 \cdot t - 5.64 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = \underbrace{11.28 \cdot 4^2 - 1.88 \cdot 4^3}_{\text{obere Grenze}} - \underbrace{(0 - 0)}_{\text{untere Grenze}} \\ & = 60.16 \end{aligned}
Grafisch kann man die zurückgelegte Strecke als den Flächeinhalt interpretieren, den die Parabel mit der t-Achse einschließt. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 15.04
Hier noch einmal alle Antworten mit den zugehörigen physikalischen Einheiten:
- t_{\text{max}} = 4 in [s]
- v_{\text{max}} = 22.56 in [m/s]
- s(t_{\text{max}}) - s(0) = s(4) = 60.16 in [m]
- \overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 15.04 in [m/s]
Ein Auto fährt ab dem Zeitpunkt t = 0 mit einer Geschwindigkeit
v(t) = 0.48 \cdot (20 t - t^2)
bis es wieder zum Stillstand kommt.
Nach welcher Zeit kommt das Auto zum Stillstand? t_{\text{max}} =
Welche Höchstgeschwindigkeit erreicht das Auto? v_{\text{max}} =
Welche Strecke legt das Auto während der gesamten Zeit zurück? s(t_{\text{max}}) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit während der Fahrt? \overline{v}=
Der Funktionsgraph der Geschwindigkeit v(t) sieht wie folgt aus:
Der obige Term lässt sich Faktorisieren, so dass man beide Nullstellen erhält:
v(t) = 0.48 \cdot (20 t - t^2) = 0.48 \cdot t \cdot (20 - t) damit sind t=0 und t = 20 = t_{\text{max}} die beiden Nullstellen. Bei der zweiten Nullstelle kommt das Auto wieder zum Stillstand.
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 10 maximal. Um nun v_{\text{max}} zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} v_{\text{max}} & = 0.48 \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = 0.48 \cdot 10 \cdot (20 - 10) \\ & = 48 \end{aligned}
Die zurückgelegte Strecke ist eine Integration der Geschwindigkeit v über die Zeit t:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) & = \int_{0}^{20} v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^{20} 9.6 \cdot t - 0.48 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = \underbrace{4.8 \cdot 20^2 - 0.16 \cdot 20^3}_{\text{obere Grenze}} - \underbrace{(0 - 0)}_{\text{untere Grenze}} \\ & = 640 \end{aligned}
Grafisch kann man die zurückgelegte Strecke als den Flächeinhalt interpretieren, den die Parabel mit der t-Achse einschließt. Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(20)}{20} = 32
Hier noch einmal alle Antworten mit den zugehörigen physikalischen Einheiten:
- t_{\text{max}} = 20 in [s]
- v_{\text{max}} = 48 in [m/s]
- s(t_{\text{max}}) - s(0) = s(20) = 640 in [m]
- \overline{v} = \frac{s(20)}{20} = 32 in [m/s]
Im folgenden Diagramm ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Gefährts abgebildet. Der Graph der Funktion ist eine nach unten offene Parabel der Form
v(t) = A \cdot t \cdot (t_{\text{max}} -t) \qquad \text{mit} \qquad t_{\text{max}} = 18.
Die maximal erreichte Geschwindigkeit ist v_{\text{max}} = 9.72.
Bei allen Aufgabenteilen sind nur die Zahlen auf mindestens zwei Nachkommastellen genau anzugeben, keine Einheiten!
Bestimmen Sie den Parameter A =
Welche Strecke (in m) legt das Gefährt während der gesamten 18 Sekunden zurück? s(18) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (in m/s)? \overline{v}=
Welchen Anteil (in Prozent) der gesamten Strecke legt das Gefährt zwischen t = 6.9 und t= 16.4 zurück?
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 9 maximal. Um nun A zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} 9.72 & = A \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = A \cdot 9 \cdot (18 - 9) \end{aligned}
Löst man diesen Ausdruck nach A auf, so ergibt sich: A = 0.12.
Da die nächsten Aufgabenteile alle eine Integration von v benötigen, bestimmen wir s(T). Dies entspricht der zum Zeitpunkt T zurückgelegten Strecke:
\begin{aligned} s(T) & = \int_{0}^T v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^T 0.12 \cdot t \cdot (18 - t)\,\mathrm{d}t\\ & = \int_{0}^T 2.16 \cdot t - 0.12 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = 1.08 \cdot T^2 - 0.04 \cdot T^3 \end{aligned} Die untere Grenze ist identisch 0, daher wurde diese im letzten Schritt gleich weggelassen. Damit kann man nun die restlichen Aufgaben lösen:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) = s(18) & = 1.08 \cdot 18^2 - 0.04 \cdot 18^3 \\ & = 116.64 \end{aligned} Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(18)}{18} = 6.48 Der Anteil, bestimmt man indem man die im Zeitintervall 6.9 bis 16.4 zurückgelegte Strecke durch die gesamte Strecke teilt. Es ergibt sich:
\begin{aligned} p = \frac{\int_{6.9}^{16.4} v(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{0}^{18} v(t)\,\mathrm{d}t} & = \frac{s(16.4) - s(6.9)}{s(18) - s(0)} \\ & = \frac{114.03904 - 38.27844}{116.64 - 0} \\ & = 0.6495 \end{aligned}
Dies sind 64.95 Prozent.
- A = 0.12
- s(18) = 116.64
- \overline{v} = 6.48
- p = 64.95\%
Im folgenden Diagramm ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Gefährts abgebildet. Der Graph der Funktion ist eine nach unten offene Parabel der Form
v(t) = A \cdot t \cdot (t_{\text{max}} -t) \qquad \text{mit} \qquad t_{\text{max}} = 6.
Die maximal erreichte Geschwindigkeit ist v_{\text{max}} = 42.66.
Bei allen Aufgabenteilen sind nur die Zahlen auf mindestens zwei Nachkommastellen genau anzugeben, keine Einheiten!
Bestimmen Sie den Parameter A =
Welche Strecke (in m) legt das Gefährt während der gesamten 6 Sekunden zurück? s(6) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (in m/s)? \overline{v}=
Welchen Anteil (in Prozent) der gesamten Strecke legt das Gefährt zwischen t = 0.4 und t= 4.6 zurück?
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 3 maximal. Um nun A zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} 42.66 & = A \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = A \cdot 3 \cdot (6 - 3) \end{aligned}
Löst man diesen Ausdruck nach A auf, so ergibt sich: A = 4.74.
Da die nächsten Aufgabenteile alle eine Integration von v benötigen, bestimmen wir s(T). Dies entspricht der zum Zeitpunkt T zurückgelegten Strecke:
\begin{aligned} s(T) & = \int_{0}^T v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^T 4.74 \cdot t \cdot (6 - t)\,\mathrm{d}t\\ & = \int_{0}^T 28.44 \cdot t - 4.74 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = 14.22 \cdot T^2 - 1.58 \cdot T^3 \end{aligned} Die untere Grenze ist identisch 0, daher wurde diese im letzten Schritt gleich weggelassen. Damit kann man nun die restlichen Aufgaben lösen:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) = s(6) & = 14.22 \cdot 6^2 - 1.58 \cdot 6^3 \\ & = 170.64 \end{aligned} Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(6)}{6} = 28.44 Der Anteil, bestimmt man indem man die im Zeitintervall 0.4 bis 4.6 zurückgelegte Strecke durch die gesamte Strecke teilt. Es ergibt sich:
\begin{aligned} p = \frac{\int_{0.4}^{4.6} v(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{0}^{6} v(t)\,\mathrm{d}t} & = \frac{s(4.6) - s(0.4)}{s(6) - s(0)} \\ & = \frac{147.10432 - 2.17408}{170.64 - 0} \\ & = 0.8493 \end{aligned}
Dies sind 84.93 Prozent.
- A = 4.74
- s(6) = 170.64
- \overline{v} = 28.44
- p = 84.93\%
Im folgenden Diagramm ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Gefährts abgebildet. Der Graph der Funktion ist eine nach unten offene Parabel der Form
v(t) = A \cdot t \cdot (t_{\text{max}} -t) \qquad \text{mit} \qquad t_{\text{max}} = 4.
Die maximal erreichte Geschwindigkeit ist v_{\text{max}} = 13.2.
Bei allen Aufgabenteilen sind nur die Zahlen auf mindestens zwei Nachkommastellen genau anzugeben, keine Einheiten!
Bestimmen Sie den Parameter A =
Welche Strecke (in m) legt das Gefährt während der gesamten 4 Sekunden zurück? s(4) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (in m/s)? \overline{v}=
Welchen Anteil (in Prozent) der gesamten Strecke legt das Gefährt zwischen t = 1 und t= 2.6 zurück?
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 2 maximal. Um nun A zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} 13.2 & = A \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = A \cdot 2 \cdot (4 - 2) \end{aligned}
Löst man diesen Ausdruck nach A auf, so ergibt sich: A = 3.3.
Da die nächsten Aufgabenteile alle eine Integration von v benötigen, bestimmen wir s(T). Dies entspricht der zum Zeitpunkt T zurückgelegten Strecke:
\begin{aligned} s(T) & = \int_{0}^T v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^T 3.3 \cdot t \cdot (4 - t)\,\mathrm{d}t\\ & = \int_{0}^T 13.2 \cdot t - 3.3 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = 6.6 \cdot T^2 - 1.1 \cdot T^3 \end{aligned} Die untere Grenze ist identisch 0, daher wurde diese im letzten Schritt gleich weggelassen. Damit kann man nun die restlichen Aufgaben lösen:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) = s(4) & = 6.6 \cdot 4^2 - 1.1 \cdot 4^3 \\ & = 35.2 \end{aligned} Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 8.8 Der Anteil, bestimmt man indem man die im Zeitintervall 1 bis 2.6 zurückgelegte Strecke durch die gesamte Strecke teilt. Es ergibt sich:
\begin{aligned} p = \frac{\int_{1}^{2.6} v(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t} & = \frac{s(2.6) - s(1)}{s(4) - s(0)} \\ & = \frac{25.2824 - 5.5}{35.2 - 0} \\ & = 0.562 \end{aligned}
Dies sind 56.2 Prozent.
- A = 3.3
- s(4) = 35.2
- \overline{v} = 8.8
- p = 56.2\%
Im folgenden Diagramm ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Gefährts abgebildet. Der Graph der Funktion ist eine nach unten offene Parabel der Form
v(t) = A \cdot t \cdot (t_{\text{max}} -t) \qquad \text{mit} \qquad t_{\text{max}} = 4.
Die maximal erreichte Geschwindigkeit ist v_{\text{max}} = 9.84.
Bei allen Aufgabenteilen sind nur die Zahlen auf mindestens zwei Nachkommastellen genau anzugeben, keine Einheiten!
Bestimmen Sie den Parameter A =
Welche Strecke (in m) legt das Gefährt während der gesamten 4 Sekunden zurück? s(4) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (in m/s)? \overline{v}=
Welchen Anteil (in Prozent) der gesamten Strecke legt das Gefährt zwischen t = 1.3 und t= 2.1 zurück?
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 2 maximal. Um nun A zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} 9.84 & = A \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = A \cdot 2 \cdot (4 - 2) \end{aligned}
Löst man diesen Ausdruck nach A auf, so ergibt sich: A = 2.46.
Da die nächsten Aufgabenteile alle eine Integration von v benötigen, bestimmen wir s(T). Dies entspricht der zum Zeitpunkt T zurückgelegten Strecke:
\begin{aligned} s(T) & = \int_{0}^T v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^T 2.46 \cdot t \cdot (4 - t)\,\mathrm{d}t\\ & = \int_{0}^T 9.84 \cdot t - 2.46 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = 4.92 \cdot T^2 - 0.82 \cdot T^3 \end{aligned} Die untere Grenze ist identisch 0, daher wurde diese im letzten Schritt gleich weggelassen. Damit kann man nun die restlichen Aufgaben lösen:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) = s(4) & = 4.92 \cdot 4^2 - 0.82 \cdot 4^3 \\ & = 26.24 \end{aligned} Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 6.56 Der Anteil, bestimmt man indem man die im Zeitintervall 1.3 bis 2.1 zurückgelegte Strecke durch die gesamte Strecke teilt. Es ergibt sich:
\begin{aligned} p = \frac{\int_{1.3}^{2.1} v(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t} & = \frac{s(2.1) - s(1.3)}{s(4) - s(0)} \\ & = \frac{14.10318 - 6.51326}{26.24 - 0} \\ & = 0.2892 \end{aligned}
Dies sind 28.92 Prozent.
- A = 2.46
- s(4) = 26.24
- \overline{v} = 6.56
- p = 28.92\%
Im folgenden Diagramm ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Gefährts abgebildet. Der Graph der Funktion ist eine nach unten offene Parabel der Form
v(t) = A \cdot t \cdot (t_{\text{max}} -t) \qquad \text{mit} \qquad t_{\text{max}} = 20.
Die maximal erreichte Geschwindigkeit ist v_{\text{max}} = 48.
Bei allen Aufgabenteilen sind nur die Zahlen auf mindestens zwei Nachkommastellen genau anzugeben, keine Einheiten!
Bestimmen Sie den Parameter A =
Welche Strecke (in m) legt das Gefährt während der gesamten 20 Sekunden zurück? s(20) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (in m/s)? \overline{v}=
Welchen Anteil (in Prozent) der gesamten Strecke legt das Gefährt zwischen t = 6.4 und t= 12.5 zurück?
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 10 maximal. Um nun A zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} 48 & = A \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = A \cdot 10 \cdot (20 - 10) \end{aligned}
Löst man diesen Ausdruck nach A auf, so ergibt sich: A = 0.48.
Da die nächsten Aufgabenteile alle eine Integration von v benötigen, bestimmen wir s(T). Dies entspricht der zum Zeitpunkt T zurückgelegten Strecke:
\begin{aligned} s(T) & = \int_{0}^T v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^T 0.48 \cdot t \cdot (20 - t)\,\mathrm{d}t\\ & = \int_{0}^T 9.6 \cdot t - 0.48 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = 4.8 \cdot T^2 - 0.16 \cdot T^3 \end{aligned} Die untere Grenze ist identisch 0, daher wurde diese im letzten Schritt gleich weggelassen. Damit kann man nun die restlichen Aufgaben lösen:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) = s(20) & = 4.8 \cdot 20^2 - 0.16 \cdot 20^3 \\ & = 640 \end{aligned} Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(20)}{20} = 32 Der Anteil, bestimmt man indem man die im Zeitintervall 6.4 bis 12.5 zurückgelegte Strecke durch die gesamte Strecke teilt. Es ergibt sich:
\begin{aligned} p = \frac{\int_{6.4}^{12.5} v(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{0}^{20} v(t)\,\mathrm{d}t} & = \frac{s(12.5) - s(6.4)}{s(20) - s(0)} \\ & = \frac{437.5 - 154.66496}{640 - 0} \\ & = 0.4419 \end{aligned}
Dies sind 44.19 Prozent.
- A = 0.48
- s(20) = 640
- \overline{v} = 32
- p = 44.19\%
Im folgenden Diagramm ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Gefährts abgebildet. Der Graph der Funktion ist eine nach unten offene Parabel der Form
v(t) = A \cdot t \cdot (t_{\text{max}} -t) \qquad \text{mit} \qquad t_{\text{max}} = 4.
Die maximal erreichte Geschwindigkeit ist v_{\text{max}} = 18.24.
Bei allen Aufgabenteilen sind nur die Zahlen auf mindestens zwei Nachkommastellen genau anzugeben, keine Einheiten!
Bestimmen Sie den Parameter A =
Welche Strecke (in m) legt das Gefährt während der gesamten 4 Sekunden zurück? s(4) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (in m/s)? \overline{v}=
Welchen Anteil (in Prozent) der gesamten Strecke legt das Gefährt zwischen t = 1.4 und t= 3.1 zurück?
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 2 maximal. Um nun A zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} 18.24 & = A \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = A \cdot 2 \cdot (4 - 2) \end{aligned}
Löst man diesen Ausdruck nach A auf, so ergibt sich: A = 4.56.
Da die nächsten Aufgabenteile alle eine Integration von v benötigen, bestimmen wir s(T). Dies entspricht der zum Zeitpunkt T zurückgelegten Strecke:
\begin{aligned} s(T) & = \int_{0}^T v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^T 4.56 \cdot t \cdot (4 - t)\,\mathrm{d}t\\ & = \int_{0}^T 18.24 \cdot t - 4.56 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = 9.12 \cdot T^2 - 1.52 \cdot T^3 \end{aligned} Die untere Grenze ist identisch 0, daher wurde diese im letzten Schritt gleich weggelassen. Damit kann man nun die restlichen Aufgaben lösen:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) = s(4) & = 9.12 \cdot 4^2 - 1.52 \cdot 4^3 \\ & = 48.64 \end{aligned} Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(4)}{4} = 12.16 Der Anteil, bestimmt man indem man die im Zeitintervall 1.4 bis 3.1 zurückgelegte Strecke durch die gesamte Strecke teilt. Es ergibt sich:
\begin{aligned} p = \frac{\int_{1.4}^{3.1} v(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{0}^{4} v(t)\,\mathrm{d}t} & = \frac{s(3.1) - s(1.4)}{s(4) - s(0)} \\ & = \frac{42.36088 - 13.70432}{48.64 - 0} \\ & = 0.5892 \end{aligned}
Dies sind 58.92 Prozent.
- A = 4.56
- s(4) = 48.64
- \overline{v} = 12.16
- p = 58.92\%
Im folgenden Diagramm ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Gefährts abgebildet. Der Graph der Funktion ist eine nach unten offene Parabel der Form
v(t) = A \cdot t \cdot (t_{\text{max}} -t) \qquad \text{mit} \qquad t_{\text{max}} = 10.
Die maximal erreichte Geschwindigkeit ist v_{\text{max}} = 48.
Bei allen Aufgabenteilen sind nur die Zahlen auf mindestens zwei Nachkommastellen genau anzugeben, keine Einheiten!
Bestimmen Sie den Parameter A =
Welche Strecke (in m) legt das Gefährt während der gesamten 10 Sekunden zurück? s(10) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (in m/s)? \overline{v}=
Welchen Anteil (in Prozent) der gesamten Strecke legt das Gefährt zwischen t = 3.9 und t= 6.1 zurück?
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 5 maximal. Um nun A zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} 48 & = A \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = A \cdot 5 \cdot (10 - 5) \end{aligned}
Löst man diesen Ausdruck nach A auf, so ergibt sich: A = 1.92.
Da die nächsten Aufgabenteile alle eine Integration von v benötigen, bestimmen wir s(T). Dies entspricht der zum Zeitpunkt T zurückgelegten Strecke:
\begin{aligned} s(T) & = \int_{0}^T v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^T 1.92 \cdot t \cdot (10 - t)\,\mathrm{d}t\\ & = \int_{0}^T 19.2 \cdot t - 1.92 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = 9.6 \cdot T^2 - 0.64 \cdot T^3 \end{aligned} Die untere Grenze ist identisch 0, daher wurde diese im letzten Schritt gleich weggelassen. Damit kann man nun die restlichen Aufgaben lösen:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) = s(10) & = 9.6 \cdot 10^2 - 0.64 \cdot 10^3 \\ & = 320 \end{aligned} Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(10)}{10} = 32 Der Anteil, bestimmt man indem man die im Zeitintervall 3.9 bis 6.1 zurückgelegte Strecke durch die gesamte Strecke teilt. Es ergibt sich:
\begin{aligned} p = \frac{\int_{3.9}^{6.1} v(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{0}^{10} v(t)\,\mathrm{d}t} & = \frac{s(6.1) - s(3.9)}{s(10) - s(0)} \\ & = \frac{211.94816 - 108.05184}{320 - 0} \\ & = 0.3247 \end{aligned}
Dies sind 32.47 Prozent.
- A = 1.92
- s(10) = 320
- \overline{v} = 32
- p = 32.47\%
Im folgenden Diagramm ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Gefährts abgebildet. Der Graph der Funktion ist eine nach unten offene Parabel der Form
v(t) = A \cdot t \cdot (t_{\text{max}} -t) \qquad \text{mit} \qquad t_{\text{max}} = 8.
Die maximal erreichte Geschwindigkeit ist v_{\text{max}} = 10.56.
Bei allen Aufgabenteilen sind nur die Zahlen auf mindestens zwei Nachkommastellen genau anzugeben, keine Einheiten!
Bestimmen Sie den Parameter A =
Welche Strecke (in m) legt das Gefährt während der gesamten 8 Sekunden zurück? s(8) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (in m/s)? \overline{v}=
Welchen Anteil (in Prozent) der gesamten Strecke legt das Gefährt zwischen t = 2.7 und t= 6.1 zurück?
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 4 maximal. Um nun A zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} 10.56 & = A \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = A \cdot 4 \cdot (8 - 4) \end{aligned}
Löst man diesen Ausdruck nach A auf, so ergibt sich: A = 0.66.
Da die nächsten Aufgabenteile alle eine Integration von v benötigen, bestimmen wir s(T). Dies entspricht der zum Zeitpunkt T zurückgelegten Strecke:
\begin{aligned} s(T) & = \int_{0}^T v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^T 0.66 \cdot t \cdot (8 - t)\,\mathrm{d}t\\ & = \int_{0}^T 5.28 \cdot t - 0.66 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = 2.64 \cdot T^2 - 0.22 \cdot T^3 \end{aligned} Die untere Grenze ist identisch 0, daher wurde diese im letzten Schritt gleich weggelassen. Damit kann man nun die restlichen Aufgaben lösen:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) = s(8) & = 2.64 \cdot 8^2 - 0.22 \cdot 8^3 \\ & = 56.32 \end{aligned} Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(8)}{8} = 7.04 Der Anteil, bestimmt man indem man die im Zeitintervall 2.7 bis 6.1 zurückgelegte Strecke durch die gesamte Strecke teilt. Es ergibt sich:
\begin{aligned} p = \frac{\int_{2.7}^{6.1} v(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{0}^{8} v(t)\,\mathrm{d}t} & = \frac{s(6.1) - s(2.7)}{s(8) - s(0)} \\ & = \frac{48.29858 - 14.91534}{56.32 - 0} \\ & = 0.5927 \end{aligned}
Dies sind 59.27 Prozent.
- A = 0.66
- s(8) = 56.32
- \overline{v} = 7.04
- p = 59.27\%
Im folgenden Diagramm ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Gefährts abgebildet. Der Graph der Funktion ist eine nach unten offene Parabel der Form
v(t) = A \cdot t \cdot (t_{\text{max}} -t) \qquad \text{mit} \qquad t_{\text{max}} = 10.
Die maximal erreichte Geschwindigkeit ist v_{\text{max}} = 18.
Bei allen Aufgabenteilen sind nur die Zahlen auf mindestens zwei Nachkommastellen genau anzugeben, keine Einheiten!
Bestimmen Sie den Parameter A =
Welche Strecke (in m) legt das Gefährt während der gesamten 10 Sekunden zurück? s(10) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (in m/s)? \overline{v}=
Welchen Anteil (in Prozent) der gesamten Strecke legt das Gefährt zwischen t = 4.6 und t= 5.3 zurück?
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 5 maximal. Um nun A zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} 18 & = A \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = A \cdot 5 \cdot (10 - 5) \end{aligned}
Löst man diesen Ausdruck nach A auf, so ergibt sich: A = 0.72.
Da die nächsten Aufgabenteile alle eine Integration von v benötigen, bestimmen wir s(T). Dies entspricht der zum Zeitpunkt T zurückgelegten Strecke:
\begin{aligned} s(T) & = \int_{0}^T v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^T 0.72 \cdot t \cdot (10 - t)\,\mathrm{d}t\\ & = \int_{0}^T 7.2 \cdot t - 0.72 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = 3.6 \cdot T^2 - 0.24 \cdot T^3 \end{aligned} Die untere Grenze ist identisch 0, daher wurde diese im letzten Schritt gleich weggelassen. Damit kann man nun die restlichen Aufgaben lösen:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) = s(10) & = 3.6 \cdot 10^2 - 0.24 \cdot 10^3 \\ & = 120 \end{aligned} Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(10)}{10} = 12 Der Anteil, bestimmt man indem man die im Zeitintervall 4.6 bis 5.3 zurückgelegte Strecke durch die gesamte Strecke teilt. Es ergibt sich:
\begin{aligned} p = \frac{\int_{4.6}^{5.3} v(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{0}^{10} v(t)\,\mathrm{d}t} & = \frac{s(5.3) - s(4.6)}{s(10) - s(0)} \\ & = \frac{65.39352 - 52.81536}{120 - 0} \\ & = 0.1048 \end{aligned}
Dies sind 10.48 Prozent.
- A = 0.72
- s(10) = 120
- \overline{v} = 12
- p = 10.48\%
Im folgenden Diagramm ist das Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm eines Gefährts abgebildet. Der Graph der Funktion ist eine nach unten offene Parabel der Form
v(t) = A \cdot t \cdot (t_{\text{max}} -t) \qquad \text{mit} \qquad t_{\text{max}} = 8.
Die maximal erreichte Geschwindigkeit ist v_{\text{max}} = 38.4.
Bei allen Aufgabenteilen sind nur die Zahlen auf mindestens zwei Nachkommastellen genau anzugeben, keine Einheiten!
Bestimmen Sie den Parameter A =
Welche Strecke (in m) legt das Gefährt während der gesamten 8 Sekunden zurück? s(8) =
Wie hoch ist die durchschnittliche Geschwindigkeit (in m/s)? \overline{v}=
Welchen Anteil (in Prozent) der gesamten Strecke legt das Gefährt zwischen t = 1.4 und t= 4.9 zurück?
Die Funktion v(t) wird bei t = \frac{t_{\text{max}}}{2} = 4 maximal. Um nun A zu bestimmen muss daher gelten
\begin{aligned} 38.4 & = A \cdot \frac{t_{\text{max}}}{2} \cdot \left(t_{\text{max}} - \frac{t_{\text{max}}}{2}\right) \\ & = A \cdot 4 \cdot (8 - 4) \end{aligned}
Löst man diesen Ausdruck nach A auf, so ergibt sich: A = 2.4.
Da die nächsten Aufgabenteile alle eine Integration von v benötigen, bestimmen wir s(T). Dies entspricht der zum Zeitpunkt T zurückgelegten Strecke:
\begin{aligned} s(T) & = \int_{0}^T v(t)\,\mathrm{d}t \\ & = \int_{0}^T 2.4 \cdot t \cdot (8 - t)\,\mathrm{d}t\\ & = \int_{0}^T 19.2 \cdot t - 2.4 \cdot t^2\,\mathrm{d}t \\ & = 9.6 \cdot T^2 - 0.8 \cdot T^3 \end{aligned} Die untere Grenze ist identisch 0, daher wurde diese im letzten Schritt gleich weggelassen. Damit kann man nun die restlichen Aufgaben lösen:
\begin{aligned} s(t_{\text{max}}) = s(8) & = 9.6 \cdot 8^2 - 0.8 \cdot 8^3 \\ & = 204.8 \end{aligned} Für die Durchschnittsgeschwindigkeit teilt man die zurückgelegte Strecke durch die Gesamtzeit der Fahrt. Es ergibt sich:
\overline{v} = \frac{s(8)}{8} = 25.6 Der Anteil, bestimmt man indem man die im Zeitintervall 1.4 bis 4.9 zurückgelegte Strecke durch die gesamte Strecke teilt. Es ergibt sich:
\begin{aligned} p = \frac{\int_{1.4}^{4.9} v(t)\,\mathrm{d}t}{\int_{0}^{8} v(t)\,\mathrm{d}t} & = \frac{s(4.9) - s(1.4)}{s(8) - s(0)} \\ & = \frac{136.3768 - 16.6208}{204.8 - 0} \\ & = 0.5847 \end{aligned}
Dies sind 58.47 Prozent.
- A = 2.4
- s(8) = 204.8
- \overline{v} = 25.6
- p = 58.47\%
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = 5 x^2 - 45 x + 90 Bestimmen Sie den Betrag der Fläche B, die zwischen der x-Achse und der Funktion eingeschlossen wird.
Die Fläche ergibt sich zu B =
Der Graph zeigt die Funktion f sowie die zu bestimmende Fläche.
Für die Nullstellen der Funktion f ergeben sich (mittels abc-Lösungsformel, quadratische Ergänzung, etc):
x_1 = 3\qquad \text{und} \qquad x_2 = 6.
Damit ergibt sich für die Fläche
\begin{aligned} A & = \int_{3}^{6} 5 \cdot x^2 - 45 \cdot x + 90\,\mathrm{d}x \\ & = \left[ \frac{5}{3} \cdot x^3 - \frac{45}{2} \cdot x^2 + 90 \cdot x \right]_{3}^{6} \\ & = \frac{5}{3} \cdot 6^3 - \frac{45}{2} \cdot 6^2 + 90 \cdot 6 - \left(\frac{5}{3} \cdot 3^3 - \frac{45}{2} \cdot 3^2 + 90 \cdot 3\right) \\ & = -22.5 \end{aligned}
Damit ist die Lösung B = 22.5.
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = 2 x^2 - 14 x + 20 Bestimmen Sie die Fläche A, die zwischen der x-Achse, der y-Achse und der Funktion eingeschlossen wird.
Die Fläche ergibt sich zu A =
Der Graph zeigt die Funktion f sowie die zu bestimmende Fläche.
Für die Nullstellen der Funktion f ergeben sich (mittels abc-Lösungsformel, quadratische Ergänzung, etc):
x_1 = 2\qquad \text{und} \qquad x_2 = 5.
Damit ergibt sich für die Fläche
\begin{aligned} A & = \int_{0}^{2} 2\cdot x^2 - 14 \cdot x + 20\,\mathrm{d}x \\ & = \left[ \frac{2}{3} \cdot x^3 - \frac{14}{2} \cdot x^2 + 20 \cdot x \right]_0^{2} \\ & = \frac{2}{3} \cdot 2^3 - \frac{14}{2} \cdot 2^2 + 20 \cdot 2 \\ & = 17.3333333 \end{aligned}
Damit ist die gesuchte Lösung A = 17.3333333.
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = 6 x^2 - 216 x + 1728 Bestimmen Sie den Betrag der Fläche B, die zwischen der x-Achse und der Funktion eingeschlossen wird.
Die Fläche ergibt sich zu B =
Der Graph zeigt die Funktion f sowie die zu bestimmende Fläche.
Für die Nullstellen der Funktion f ergeben sich (mittels abc-Lösungsformel, quadratische Ergänzung, etc):
x_1 = 12\qquad \text{und} \qquad x_2 = 24.
Damit ergibt sich für die Fläche
\begin{aligned} A & = \int_{12}^{24} 6 \cdot x^2 - 216 \cdot x + 1728\,\mathrm{d}x \\ & = \left[ \frac{6}{3} \cdot x^3 - \frac{216}{2} \cdot x^2 + 1728 \cdot x \right]_{12}^{24} \\ & = \frac{6}{3} \cdot 24^3 - \frac{216}{2} \cdot 24^2 + 1728 \cdot 24 - \left(\frac{6}{3} \cdot 12^3 - \frac{216}{2} \cdot 12^2 + 1728 \cdot 12\right) \\ & = -1728 \end{aligned}
Damit ist die Lösung B = 1728.
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = 3 x^2 - 78 x + 264 Bestimmen Sie den Betrag der Fläche B, die zwischen der x-Achse und der Funktion eingeschlossen wird.
Die Fläche ergibt sich zu B =
Der Graph zeigt die Funktion f sowie die zu bestimmende Fläche.
Für die Nullstellen der Funktion f ergeben sich (mittels abc-Lösungsformel, quadratische Ergänzung, etc):
x_1 = 4\qquad \text{und} \qquad x_2 = 22.
Damit ergibt sich für die Fläche
\begin{aligned} A & = \int_{4}^{22} 3 \cdot x^2 - 78 \cdot x + 264\,\mathrm{d}x \\ & = \left[ \frac{3}{3} \cdot x^3 - \frac{78}{2} \cdot x^2 + 264 \cdot x \right]_{4}^{22} \\ & = \frac{3}{3} \cdot 22^3 - \frac{78}{2} \cdot 22^2 + 264 \cdot 22 - \left(\frac{3}{3} \cdot 4^3 - \frac{78}{2} \cdot 4^2 + 264 \cdot 4\right) \\ & = -2916 \end{aligned}
Damit ist die Lösung B = 2916.
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = 2 x^2 - 28 x + 26 Bestimmen Sie den Betrag der Fläche B, die zwischen der x-Achse und der Funktion eingeschlossen wird.
Die Fläche ergibt sich zu B =
Der Graph zeigt die Funktion f sowie die zu bestimmende Fläche.
Für die Nullstellen der Funktion f ergeben sich (mittels abc-Lösungsformel, quadratische Ergänzung, etc):
x_1 = 1\qquad \text{und} \qquad x_2 = 13.
Damit ergibt sich für die Fläche
\begin{aligned} A & = \int_{1}^{13} 2 \cdot x^2 - 28 \cdot x + 26\,\mathrm{d}x \\ & = \left[ \frac{2}{3} \cdot x^3 - \frac{28}{2} \cdot x^2 + 26 \cdot x \right]_{1}^{13} \\ & = \frac{2}{3} \cdot 13^3 - \frac{28}{2} \cdot 13^2 + 26 \cdot 13 - \left(\frac{2}{3} \cdot 1^3 - \frac{28}{2} \cdot 1^2 + 26 \cdot 1\right) \\ & = -576 \end{aligned}
Damit ist die Lösung B = 576.
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = 2 x^2 - 46 x + 84 Bestimmen Sie den Betrag der Fläche B, die zwischen der x-Achse und der Funktion eingeschlossen wird.
Die Fläche ergibt sich zu B =
Der Graph zeigt die Funktion f sowie die zu bestimmende Fläche.
Für die Nullstellen der Funktion f ergeben sich (mittels abc-Lösungsformel, quadratische Ergänzung, etc):
x_1 = 2\qquad \text{und} \qquad x_2 = 21.
Damit ergibt sich für die Fläche
\begin{aligned} A & = \int_{2}^{21} 2 \cdot x^2 - 46 \cdot x + 84\,\mathrm{d}x \\ & = \left[ \frac{2}{3} \cdot x^3 - \frac{46}{2} \cdot x^2 + 84 \cdot x \right]_{2}^{21} \\ & = \frac{2}{3} \cdot 21^3 - \frac{46}{2} \cdot 21^2 + 84 \cdot 21 - \left(\frac{2}{3} \cdot 2^3 - \frac{46}{2} \cdot 2^2 + 84 \cdot 2\right) \\ & = -2286.3333333 \end{aligned}
Damit ist die Lösung B = 2286.3333333.
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = 5 x^2 - 155 x + 1170 Bestimmen Sie den Betrag der Fläche B, die zwischen der x-Achse und der Funktion eingeschlossen wird.
Die Fläche ergibt sich zu B =
Der Graph zeigt die Funktion f sowie die zu bestimmende Fläche.
Für die Nullstellen der Funktion f ergeben sich (mittels abc-Lösungsformel, quadratische Ergänzung, etc):
x_1 = 13\qquad \text{und} \qquad x_2 = 18.
Damit ergibt sich für die Fläche
\begin{aligned} A & = \int_{13}^{18} 5 \cdot x^2 - 155 \cdot x + 1170\,\mathrm{d}x \\ & = \left[ \frac{5}{3} \cdot x^3 - \frac{155}{2} \cdot x^2 + 1170 \cdot x \right]_{13}^{18} \\ & = \frac{5}{3} \cdot 18^3 - \frac{155}{2} \cdot 18^2 + 1170 \cdot 18 - \left(\frac{5}{3} \cdot 13^3 - \frac{155}{2} \cdot 13^2 + 1170 \cdot 13\right) \\ & = -104.1666667 \end{aligned}
Damit ist die Lösung B = 104.1666667.
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = 3 x^2 - 54 x + 216 Bestimmen Sie die Fläche A, die zwischen der x-Achse, der y-Achse und der Funktion eingeschlossen wird.
Die Fläche ergibt sich zu A =
Der Graph zeigt die Funktion f sowie die zu bestimmende Fläche.
Für die Nullstellen der Funktion f ergeben sich (mittels abc-Lösungsformel, quadratische Ergänzung, etc):
x_1 = 6\qquad \text{und} \qquad x_2 = 12.
Damit ergibt sich für die Fläche
\begin{aligned} A & = \int_{0}^{6} 3\cdot x^2 - 54 \cdot x + 216\,\mathrm{d}x \\ & = \left[ \frac{3}{3} \cdot x^3 - \frac{54}{2} \cdot x^2 + 216 \cdot x \right]_0^{6} \\ & = \frac{3}{3} \cdot 6^3 - \frac{54}{2} \cdot 6^2 + 216 \cdot 6 \\ & = 540 \end{aligned}
Damit ist die gesuchte Lösung A = 540.
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = 2 x^2 - 14 x + 20 Bestimmen Sie den Betrag der Fläche B, die zwischen der x-Achse und der Funktion eingeschlossen wird.
Die Fläche ergibt sich zu B =
Der Graph zeigt die Funktion f sowie die zu bestimmende Fläche.
Für die Nullstellen der Funktion f ergeben sich (mittels abc-Lösungsformel, quadratische Ergänzung, etc):
x_1 = 2\qquad \text{und} \qquad x_2 = 5.
Damit ergibt sich für die Fläche
\begin{aligned} A & = \int_{2}^{5} 2 \cdot x^2 - 14 \cdot x + 20\,\mathrm{d}x \\ & = \left[ \frac{2}{3} \cdot x^3 - \frac{14}{2} \cdot x^2 + 20 \cdot x \right]_{2}^{5} \\ & = \frac{2}{3} \cdot 5^3 - \frac{14}{2} \cdot 5^2 + 20 \cdot 5 - \left(\frac{2}{3} \cdot 2^3 - \frac{14}{2} \cdot 2^2 + 20 \cdot 2\right) \\ & = -9 \end{aligned}
Damit ist die Lösung B = 9.
Gegeben ist die Funktion f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} mit
f(x) = 2 x^2 - 74 x + 624 Bestimmen Sie den Betrag der Fläche B, die zwischen der x-Achse und der Funktion eingeschlossen wird.
Die Fläche ergibt sich zu B =
Der Graph zeigt die Funktion f sowie die zu bestimmende Fläche.
Für die Nullstellen der Funktion f ergeben sich (mittels abc-Lösungsformel, quadratische Ergänzung, etc):
x_1 = 13\qquad \text{und} \qquad x_2 = 24.
Damit ergibt sich für die Fläche
\begin{aligned} A & = \int_{13}^{24} 2 \cdot x^2 - 74 \cdot x + 624\,\mathrm{d}x \\ & = \left[ \frac{2}{3} \cdot x^3 - \frac{74}{2} \cdot x^2 + 624 \cdot x \right]_{13}^{24} \\ & = \frac{2}{3} \cdot 24^3 - \frac{74}{2} \cdot 24^2 + 624 \cdot 24 - \left(\frac{2}{3} \cdot 13^3 - \frac{74}{2} \cdot 13^2 + 624 \cdot 13\right) \\ & = -443.6666667 \end{aligned}
Damit ist die Lösung B = 443.6666667.